M3 Progressão Geométrica - Parte I
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00:00tanto sofrimento. Gente, PG, progressão geométrica, parte 1.
00:04Eu vou usar aqui, hoje, para explicar PG,
00:08mais ou menos os mesmos passos que eu utilizei para explicar progressão aritmética.
00:13Então, se você ainda não assistiu meu vídeo de progressão aritmética, eu acho que seria bacana
00:18vocês assistirem esse vídeo de progressão aritmética, porque dá um embasamento, de certa forma,
00:23para você chegar bem aqui em PG, tá bom? Então, vamos lá.
00:26Progressão geométrica, mais conhecida como PG,
00:31é toda a sequência de números não nulos, ou seja, excetuando o zero,
00:35na qual é constante o quociente da divisão de cada termo a partir do segundo pelo termo anterior.
00:43Um exemplo, já direto aqui, para vocês entenderem.
00:46Se você pegar 6 e dividir pelo termo anterior, dá 3.
00:51Se você pegar 18 e dividir por 6, que é o termo anterior, dá 3.
00:54Então, o quociente é sempre o mesmo em progressões chamadas de geométricas, tá certo?
01:01E esse quociente, que é chamado de razão, tá?
01:05Em outras palavras, PG é uma sequência de números,
01:10não pode ser sequência de letras, nem de figuras,
01:12é uma sequência numérica, que a gente vai sempre multiplicando a mesma coisa.
01:17Enquanto a PA, a gente vai sempre somando, a PG a gente vai sempre multiplicando.
01:22Nesse exemplo que eu peguei aqui, galera, a nossa razão vai ser 3 x 3 x 3 x 3, tá?
01:31É inevitável a gente fazer paralelo entre PA e PG, não tem como.
01:37Durante a aula toda, a gente vai estar fazendo esses paralelos, tá bom?
01:40É uma forma de entender melhor os dois conteúdos, diferenciar e ficar melhor na resolução.
01:46A gente também vai fazer, vamos falar sobre a teoria de Malthus aqui nessa aula, tá?
01:52Porque PG é um tema, realmente, que é interdisciplinar.
01:56Ele é utilizado em várias outras áreas do conhecimento,
01:59e eu não posso estar deixando de trazer essas informações aqui pra vocês, né?
02:03Principalmente pros nossos alunos que vão fazer o ENEM,
02:06que é uma prova que faz essa ligação, esse diálogo entre as disciplinas.
02:10Então é fundamental que você tenha esses links, tá?
02:13De uma coisa pra outra e por aí vai.
02:15Beleza, então, a razão na PA nós chamamos de R.
02:20A diferença é que na PG, a razão nós chamamos de Q.
02:24Q é a razão, e Q é uma homenagem à palavra consciente, né?
02:29Que começa com Q, porque justamente a razão é exatamente o consciente.
02:34Pra descobrir a razão de uma PG, você vai pegar A2 dividido por A1,
02:38ou seja, o segundo dividido pelo primeiro,
02:40ou então você pode pegar o terceiro, dividir pelo segundo,
02:43ou então AN sobre AN-1 é a forma de descobrir a razão, tá bom?
02:48Resumindo tudo o que eu disse, uma PG é uma sequência
02:51que vai sempre multiplicando a mesma coisa.
02:54Nós temos aqui uma escalazinha de classificação quanto à razão.
02:59Eu vou dizer assim pra vocês, ó, não precisa decorar isso aqui, tá?
03:03Eu nunca decorei isso aqui, e se o autor...
03:06Não vai existir questão de classificação de PG, isso não existe, tá gente?
03:09Mas, se quiser dar uma olhada aqui a título de curiosidade,
03:13eu vou só pegar esse exemplo aqui, ó.
03:15Uma PG é crescente em dois casos.
03:18Se o A1 for maior do que 0 e a razão maior do que 1,
03:23ou se o A1 for menor do que 0 e a razão estiver entre 0 e 1.
03:27Esse exemplo que eu trouxe aqui, ó, esse, se enquadra nesse caso.
03:31A1 maior do que 0, observe que o primeiro termo é 2,
03:34e a razão é maior do que 1, aí nós temos uma PG crescente.
03:37Mais um conselho de amigo, não decore isso aqui não, tá?
03:40Porque, assim, nosso foco aqui é provas, né?
03:42Isso eu nunca escondi isso de vocês.
03:45Aqui o meu canal, nosso canal que é construído junto,
03:48eu tenho foco aqui em prova.
03:49Prova de ENEM, prova de vestibular, prova de concurso.
03:52Então, eu gosto de falar muito nas coisas que caem.
03:54E isso aqui não vai cair, pode ficar em paz.
03:56Classificação, não.
03:58Muito bem, assim como eu fiz com o PA,
04:01antes de falar da fórmula do termo geral da PG,
04:05eu quero falar de algumas propriedades da PG, certo?
04:08Porque essas propriedades fazem com que você entenda melhor o conteúdo,
04:13tenha mais autonomia nesse conteúdo, tá bom, galera?
04:17É preciso ter autonomia, não ser aquele estudante limitado
04:20que só acerta a questão se cair a aplicação da fórmula, não.
04:23Bora pensar maior, bora pensar macro, né?
04:26Porque aí a gente ganha nossa independência e é show de bola.
04:29Eu vou falar sobre três propriedades
04:31e eu vou utilizar esse exemplo aqui pra ilustrar as propriedades, tá?
04:35Não é pra provar.
04:37Provar uma coisa em matemática, demonstrar é outra coisa.
04:40Aqui eu vou só mostrar pra vocês que a propriedade vale nessa
04:43e a gente vai aceitar que serve pra todas, tá bom?
04:46Todas as PGs.
04:48Propriedade 1.
04:50O produto, vocês estão ligados aí que é o resultado de uma multiplicação,
04:53dos termos equidistantes, equi quer dizer mesmo,
04:57distante quer dizer distância.
04:59O produto dos termos equidistantes dos extremos de uma PG
05:03é igual ao produto desses extremos.
05:06O que eu tô querendo dizer com essa propriedade 1?
05:08Galera, vamos lá, vamos multiplicar os extremos.
05:11Bora pegar 2 vezes 486.
05:15Se você pegar 2 vezes 486,
05:18é a mesma coisa que 6 vezes 162.
05:24Vocês podem fazer as continhas aí que vai dar a mesma coisa, tá?
05:26Que é a mesma coisa que 18 vezes 54.
05:31Na PA vocês estão lembrados que era somando, tá?
05:35Na PG se você multiplicar os dois extremos,
05:38esse produto é igualzinho ao produto dos dois equidistantes logo,
05:43e os outros também e por aí vai, tá?
05:45Essa é uma das propriedades da PG.
05:47Isso ocorre em toda PG, beleza?
05:50Guarda aí.
05:51Propriedade 2.
05:53Cada termo de uma PG, excluindo os extremos,
05:57é a média geométrica entre seu termo anterior e posterior.
06:02Na PA era média aritmética, lembra disso?
06:05Na PG é média geométrica.
06:07Então nós podemos logo falar o seguinte, ó.
06:09Por que o nome dessa sequência é progressão geométrica?
06:13Porque está associada diretamente com a média geométrica.
06:17Eu vou revisar pra vocês agora o que é uma média geométrica,
06:21porque normalmente as pessoas só estudam média aritmética, não é isso?
06:24Média aritmética, ponderada,
06:26dificilmente as pessoas estudam média geométrica.
06:28Olha, vamos lá.
06:29Pra calcular a média geométrica,
06:32vai ser a raiz enésima do produto desses n termos, até xn.
06:40Pronto, vamos aqui.
06:41Vamos fazer a média geométrica de 2 e 18, certo?
06:45Eu escolhi dois números aleatórios.
06:47Vamos fazer a média geométrica entre 2 e 18.
06:51Então vai ser a raiz quadrada,
06:54porque vão ser só dois elementos, certo?
06:57Por isso que a raiz é quadrada, de 2 multiplicado por 18.
07:012 multiplicado por 18 dá 36,
07:04portanto a média geométrica é 6.
07:06E observem que o 6 é exatamente esse cara que está no meio aqui
07:11que eu vou marcar de verde, certo?
07:14Resumindo, todos os termos de um APG, excetuando os extremos,
07:19é igual a média geométrica dos seus dois vizinhos.
07:22A mesma coisa, se você calcular a média geométrica de 6 e 54,
07:27vai dar exatamente o do meio, 18.
07:30Ô vaguinho, por que é importante dominar essas propriedades?
07:33É porque muitas vezes se travar em alguma questão,
07:36se não encaixar a fórmula, enfim, se você der um branco na fórmula,
07:41de repente, pelas propriedades, muitas vezes as questões podem ser resolvidas, tá?
07:45Com o domínio das propriedades,
07:46que passam muito mais por uma questão de entendimento do que decoreba.
07:50Não é isso, galera?
07:51Muito bem.
07:52Outra coisa, já se inscreveram aqui no canal?
07:54Me faz essa gentileza aí, gente.
07:56Dá só uma paradinha aí no vídeo, onde tem escrito aqui embaixo,
07:59inscrever, se inscreve aí no canal, importante pra gente, tá?
08:02E dá um like aí.
08:04Beleza.
08:05Última propriedade, nós vamos falar agora sobre os saltos multiplicativos.
08:10Vocês estão lembrados que na PA, eu chamava de salto aditivo, não era isso?
08:16Na PG, a gente usa salto multiplicativo, tá bom, galera?
08:20Eu vou pegar um exemplo aqui, aleatório, quer ver?
08:23Vamos pensar aqui numa sequência.
08:251, 2, 3, 4, 5, 6.
08:28Aqui está o segundo termo e aqui está o sexto termo.
08:32Esses dois números que eu peguei foram aleatórios, tá bom?
08:35Totalmente aleatórios.
08:37Gente, pra eu sair aqui do segundo termo e chegar até o sexto termo,
08:41quantas vezes eu tenho que multiplicar pela razão?
08:43Então, vezes razão, vezes outra razão, vezes outra razão e vezes outra razão.
08:50Observe, quatro razões.
08:52Por isso que eu escrevi aqui, ó, A6, certo?
08:55Que é o maior, é igual, maior não, que está lá na frente, vamos dizer assim,
08:59é igual a 2 vezes, não é mais, na PA seria, se fosse PA, se fosse uma PA aqui,
09:06como é que a gente faria?
09:07A6 é igual a 2 mais 4Rs, tá?
09:12Dá uma olhadinha nos vídeos passados aí.
09:14Na PGE, A6 é igual a 2 vezes Q⁴, que é Q vezes Q vezes Q vezes Q.
09:21Essa multiplicação toda aqui vai dar Q⁴.
09:24Tranquilidade, galera?
09:25Lembrando, esses exemplos são aleatórios, eu estou pegando qualquer um aqui.
09:29Outro, A8 é igual a 5 vezes, como é que eu descubro esse expoente aqui?
09:35Quem está aí se perguntando, como é que ele descobre esse 3 aqui de cima?
09:38É de 8 menos 5, dá 3, tá bom?
09:41Pronto, se quiser anotar um detalhe que eu gosto sempre de dizer para os meus alunos
09:45em sala de aula, quando eu estou no presencial também, é assim,
09:47a gente usa saltos aditivos, escreve aí.
09:51Quando o autor nos der dois termos de um APG, se ele der o décimo e o vigésimo,
09:57ou então se ele der o quinto e der o nono, aí você usa saltos multiplicativos,
10:02você compara uma coisa com a outra, aí acaba achando a razão, certo?
10:06Um exemplozinho aqui para clarear.
10:10Em um APG tem-se que, peraí, vou mudar para vermelho aqui,
10:15a 1 vale 2, o primeiro termo vale 2 e o quinto termo vale 162.
10:201, 2, 3, 4, 5, o primeiro termo que está aqui vale 2 e o quinto termo que está aqui vale 162.
10:29Eu não quero ainda falar de fórmula da APG, tá?
10:32Vai chegar a fórmula já já, mas a gente só quer pensar sobre ela.
10:36Então, a soma, vamos marcar a palavra soma aqui,
10:39soma dos três primeiros termos dessa APG é igual a,
10:42gente, ótimo momento aqui agora para a gente usar o salto, certo?
10:46O autor deu dois termos, bora usar o salto.
10:48Fica assim, a 5 é igual a 1 vezes q elevado a 4.
10:55Da onde saiu esse 4? 5 menos 1 é 4, tá bom?
11:00Só antes de continuar aqui, alguns alunos acham o APG um pouquinho mais difícil do que o EPA,
11:05porque realmente, APG você precisa dominar algumas coisas da potência, tá certo?
11:10Algumas propriedades da potenciação, radiciação, mas eu vou estar revisando tudo aqui nesse vídeo.
11:15Fica aí, viu? Fica com calma aí, fica comigo, não sai não, e vai dar tudo certo no final.
11:20No final vocês vão estar com o conteúdo todo em dia, certo?
11:24E uma coisa que eu gosto de frisar aqui, eu gosto que vocês assistam minhas aulas
11:28e que vocês saiam daqui com autonomia, porque essa é a função de um professor, né?
11:32Você dá aula de tal forma que o aluno ganhe autonomia, ganha independência e vai estudar sozinho depois, né?
11:38Esse que é o bacana, né? De a gente ensinar legal.
11:41Você ensina e o aluno vai sozinho depois.
11:44Gente, substituindo, a 5 é 162, que é igual a 12 vezes q⁴, tá bom?
11:54Esse 2 eu vou passar dividindo, então vai ficar 162 dividido por 2, tá bom?
11:59Nem vou escrever isso, q⁴ é igual a 81.
12:04Então, é que agora a gente precisa revisar essa propriedade aqui, tá? Dessa equação.
12:08q é igual a raiz quarta de 81.
12:14Se você chegar aqui do lado, como é que a gente vai resolver essa raiz quarta?
12:20Fatorando, dividido por 3 dá 27, por 3 é 9, por 3 é 3 e por 3 é 1.
12:27Aí eu vou chegar aqui na maior tranquilidade e escrever assim, raiz quarta de 81.
12:32Eu acabei de descobrir que é 3⁴.
12:35Aqui eu vou, digamos, cortar, usar a propriedade da radiciação e a razão é igual a 3, certo?
12:42Descobri que a razão é igual a 3, agora tá lindo a questão.
12:45O que o autor quer? A soma dos 3 primeiros termos.
12:48Se a razão é 3, a minha vida tá arrumada aqui agora.
12:52Porque basta eu multiplicar por 3, eu vou descobrir 6, que é o segundo,
12:56e basta eu multiplicar por 3 de novo e eu vou descobrir 18.
13:01Ele quer a soma dos 3 primeiros termos, aí eu não preciso saber fórmula de soma,
13:06porque só são 3, né? Dá pra somar no braço.
13:08Então, a soma dos 3 vai ser 2 mais 6 mais 18, isso aqui vai dar 26, beleza?
13:16Boa questão essa, viu galera? Boa questão pra gente já iniciar.
13:20Massa! E agora eu chego na tão famosa fórmula do termo geral da APG,
13:28fórmula do termo geral. A gente já aprendeu a fórmula do termo geral da PA,
13:33que no curso, se eu lembrar aqui, na PA era assim, a N é igual a 1 mais N menos 1,
13:41que multiplica R. Vocês estão lembrados? Essa daqui é a fórmula da PA,
13:46contexto da PA. E agora, a fórmula da APG é essa daqui, viu galera?
13:54A N é igual a 1 vezes Q elevado a N menos 1. A nomenclatura não muda,
14:00só com exceção da razão, porque esse A1 continua sendo o primeiro termo igualzinho o PA.
14:06Quem não assistiu o meu vídeo de PA, a gente dá uma parada nesse vídeo,
14:09assiste o vídeo de PA primeiro, pra depois vir pra esse, os dois assuntos se complementam, tá?
14:14Aí vem, razão é o Q, N é o número de termos ou posição e a N é o enésimo.
14:20Tudo isso eu já falei no vídeo da PA, certo? Uma coisa importante,
14:24já já eu vou fazer umas associações bacanas, porque isso aqui não deixa de ser uma função, né?
14:29Isso aqui não deixa de ser uma função, se a gente tiver um domínio discreto, né?
14:321, 2, 3, discreto nesse sentido, tá? X1, X igual a 2.
14:36Então isso aqui vai ser uma função, isso aqui também é uma função PA.
14:39Já já eu vou associar PA e APG com funções e com juros também.
14:43Pra encerrar isso aqui, uma dica que eu acho que vocês devem anotar.
14:48Se o autor disser 3 números estão em PA, como foi que vocês aprenderam comigo?
14:533 números em PA, não deixo de lembrar PA, né?
14:56Se 3 números estão em PA, aí o do meio é X, o da frente é X mais R e o de trás é X menos R.
15:04Se ele disser que 3 números estão em PA, certo? Você usa essa forma aqui.
15:09Já se ele disser 3 números estão em PG, vocês vão usar essa forma aqui, galera.
15:14O do meio é X, o da frente é X vezes R e o de trás é X dividido por R.