M2 Progressão Aritmética - Parte II
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Transcript
00:00E eu trago hoje a nossa parte 2 da nossa aula sobre PA, tá bom?
00:06Você que tá chegando agora, eu sugiro que você primeiro assista o vídeo 1, PA parte 1
00:13pra depois assistir esse nosso vídeo aqui, tá bom?
00:16Pra você poder acompanhar tudo certinho.
00:18Só um minuto aqui pra eu poder passar aqui meu slide.
00:21Vamos lá! Então, o tema do nosso vídeo de hoje é
00:24progressão aritmética PA parte 2.
00:27Lá na parte 1, a gente focou mais na fórmula do termo geral,
00:31a gente focou nas propriedades da PA, falou um monte de coisa bacana.
00:35E aí ficou faltando a gente falar sobre a soma dos termos da PA.
00:39Então, esse bloco aqui, parte 2, a gente centraliza nisso, tá?
00:44A soma dos termos de uma PA finita. Então, vamos nessa!
00:47Eu quero começar contando pra vocês a história de um grande matemático chamado Argan Gauss, tá?
00:55Esse foi um dos caras mais brilhantes da matemática.
00:57E, segundo a história da matemática, quando Gauss tinha 7 anos de idade,
01:02o professor de Gauss lançou um desafio pra turma.
01:06Detalhe, Gauss tinha 7 anos na época, viu?
01:11O importante aqui é ressaltar a idade da criança.
01:14Então, veja, o professor colocou o seguinte na sala.
01:17Peraí, vocês vão ter que fazer o seguinte.
01:20Vocês vão ter que somar 1 com 2, depois o resultado, somar com 3,
01:26depois mais 4 e até chegar em 100.
01:3098, 99 e 100.
01:34Vocês entenderam aqui a problemática?
01:36Tem que fazer assim, 1 mais 2, 3.
01:38Depois 3 mais 3, 6.
01:406 mais 4, 10.
01:42Acumulando até chegar em 100.
01:44Eu acredito que o professor pensou o seguinte.
01:47Esses meninos vão ficar aí no mínimo meia hora, uma hora fazendo esse desafio aqui.
01:51Porque é uma soma realmente grande.
01:53Só que tinha Gauss na sala.
01:54Pra surpresa do professor, tinha Gauss.
01:57E Gauss simplesmente fez 101 vezes 50, que dá 5050.
02:04Gente, e aí naquele momento ali, certamente se descobriu que isso se tratava de um grande gênio, né?
02:10Que é o Gauss, que deixou enormes contribuições, tanto na matemática quanto na física, em várias ciências.
02:16Agora eu vou dizer pra vocês como foi que Gauss pensou, qual foi o raciocínio de Gauss.
02:21Ele fez o seguinte.
02:22Ele pegou o primeiro com o último, tá vendo?
02:25100 mais 1 dá 101.
02:27Então ele somou os dois extremos.
02:29Aí depois ele veio aqui e somou 2 mais 99, que percebeu também que dava 101.
02:35Depois ele pegou 3 mais 98 e percebeu também que dá 101.
02:40Então por isso que esse 101 tá aqui.
02:42Agora vamos entender um pouquinho por que vezes 50.
02:45Gente, de 1 a 100, nós temos 100 números, concorda comigo?
02:49São 100 números de 1 a 100.
02:51Se você junta de 2 em 2, como eu fiz aqui, 1 mais 100, tô juntando de 2 em 2, formando pares,
02:57a metade de 100 é 50.
02:59Por isso que 101 vezes 50 foi a forma que Gauss encontrou pra resolver essa situação aqui.
03:05Então baseado aqui nesse argumento de Gauss, a gente pode desenvolver a fórmula, tá?
03:10A gente pode deduzir a fórmula, que eu não vou fazer, vou só colocar a fórmula aqui pra vocês.
03:14Então, nas próximas questões que a gente for resolver e precisar somar muitos termos,
03:21obviamente os termos têm que estar em PA, tá?
03:23Eu esqueci de dizer isso aqui, que já tá tão implícito aqui, que isso aqui é uma PA.
03:281 mais 2 mais 3, isso aqui é uma PA.
03:30A razão é 1, concorda comigo?
03:32Então toda vez que vocês tiverem grandes somas, vocês podem jogar essa fórmula,
03:36que é A1 mais AN vezes N dividido por 2.
03:41Nessa fórmula não entra o R, tá bom?
03:43Alguns alunos confundem um pouquinho aqui, misturando o R.
03:46Nessa fórmula não entra o R.
03:49Agora, fazendo uma analogia aqui ao raciocínio de Gauss,
03:53se fosse usar aqui essa fórmula soma dos 100, N é 100, tá?
03:57Seria A1.
03:59Quem é o A1 aqui? É 1 aqui debaixo.
04:011 mais AN.
04:03AN é o último, que é 100.
04:05Colocaria 100 aqui, dividido por 2, que é da regra,
04:09vezes N, e o N é o número de termos que são 100.
04:12Daria a mesma coisa, né?
04:14A soma dos 100 termos daria 101, que é essa soma aqui, 101.
04:19Aí eu gosto sempre de cortar aqui, quando possível.
04:22Tá vendo?
04:23Aí vai dar 50 aqui.
04:24Aí encontraria a mesma coisa, mesmo raciocínio de Gauss.
04:27Tá bom, galera?
04:28Então, esse é o jeito que a gente vai utilizar agora
04:31para resolver as questões que envolvem soma da PA.
04:34Tá bom?
04:35A1 mais AN, dividido por 2, vezes N.
04:38Eu tenho algumas questões aqui para a gente desenvolver.
04:40Vamos lá.
04:41Eu vou começar com uma questão bastante tranquila,
04:44uma questão bem basicona.
04:46A soma dos 100 primeiros termos da sequência 4, 7, 10, 13, 16 é igual a...
04:53Então, veja bem.
04:54Se eu for direto aqui para a fórmula, vai dar o seguinte.
04:57Lembrando, o autor está pedindo o quê?
04:59Soma.
05:00Soma de N é igual a 1, mais AN, sobre 2, vezes N.
05:07A gente joga aqui.
05:08Então, vai ficar soma dos 100 primeiros termos.
05:11Então, daqui eu já tiro que o N é igual a 100.
05:15Soma dos 100 primeiros termos é igual a 1, que é quem?
05:19Está aqui escondidinho, 4, mais AN.
05:22Então, observe que antes de fazer essa fórmula,
05:26eu preciso da outra para essa situação.
05:29Por conta do AN, galera, eu preciso achar quem é o centésimo antes
05:33para depois cair a fórmula da soma da PA.
05:35Entendeu?
05:36Se liga nesse detalhe.
05:37Então, aqui antes, eu vou fazer o AN, eu vou achar o centésimo.
05:42Vamos lembrar da fórmula do vídeo passado.
05:44AN é igual a 1, mais N menos 1, que multiplica R.
05:50A, 100, N é 100, é igual a 1.
05:53Está aqui em cima, 4, mais 100, menos 1, vezes R.
06:00Estão lembrados?
06:01R é a razão.
06:02R é a razão.
06:03É só pegar o segundo menos o primeiro.
06:057 menos 4 é 3.
06:07Beleza?
06:08Então, aqui vai ficar.
06:09A, 100, é igual a 4, mais 99 vezes 3.
06:1599 vezes 3, eu faço assim de cabeça.
06:19Eu imagino como se fosse 100.
06:21100 vezes 3 é 300.
06:23Só que eu roubei 3.
06:25Na verdade, não é 300, eu roubei 3.
06:27Só que eu tenho um 4 aqui do lado para me ajudar.
06:29Então, eu pago esses 3 que eu roubei.
06:31Fica 300 e ainda sobra 1.
06:33Uma maluquice aqui da minha cabeça.
06:35Façam a conta de vocês de boa.
06:37Então, aqui dá 301.
06:39Quero agora chamar a atenção para um detalhe.
06:41Muita gente confunde o AN com o SN.
06:44Esse AN que eu acabei de descobrir aqui, o A, 100, que é igual a 301,
06:48significa o centésimo termo, se você fosse somando de 3 em 3,
06:53quem estaria na posição 100?
06:55301.
06:56Agora, a gente não quer o AN, a gente quer a soma.
07:00Aí, eu venho aqui agora, no lugar do AN,
07:02substituo por 301, dividido por 2, repete, vezes 100.
07:09Soma dos 100 primeiros termos é igual a 4 mais 301, vai dar 305,
07:16dividido por 2, vezes 100.
07:20Eu não vou cortar esse 2 com 100, não,
07:24porque 100 é um número muito bom da gente trabalhar.
07:27Eu vou preferir fazer 305 vezes 2, que vai dar 152,5.
07:34E aí, na hora da multiplicação por 100, fica de boa.
07:37Para multiplicar por 100, basta correr as vírgulas, está certo?
07:40Então, esse 100 vai ser igual a 1525 mais um zero, 15.250, que está na letra E.
07:48Tranquilidade? Tudo de boa por enquanto aí.
07:51Agora, eu vou pegar algumas questões um pouquinho mais trabalhosas, está certo?
07:54Essa foi aquela basicona para a gente esquentar aqui os motores.
07:57Então, vamos lá.
07:59Essa questão caiu na prova do ENEM 2014.
08:03É uma questão que eu gosto bastante, ela é bacana para a gente conversar aqui.
08:07Então, vou começar lendo aqui por baixo.
08:09A distância R que o ciclista deverá pedalar a mais a cada dia em quilômetro é?
08:16Então, o autor está pedindo o quê nessa questão? A razão.
08:19Vamos subir para entender?
08:21Aqui em cima.
08:22Um ciclista participará de uma competição e treinará alguns dias da seguinte maneira.
08:27No primeiro dia, pedalará 60 quilômetros.
08:31Eu já vou escrever aqui, viu galera? Primeiro dia, 60.
08:34No segundo dia, a mesma distância do primeiro, mais R. Beleza.
08:40No terceiro dia, a mesma distância do segundo, mais R.
08:43Então, mais R, mais R, mais R, que a gente quer exatamente saber o R.
08:46E assim sucessivamente, sempre pedalando a mesma distância do dia anterior, mais R.
08:51Então, observem que o autor trouxe um cenário aqui que pode ser interpretado como um AMP-A.
08:56Certo? Por quê? Porque está sempre somando a mesma coisa.
09:00Aqui vem. No último dia.
09:02Último dia é o quê para a gente, galera? É a N, certo?
09:05A gente não sabe aqui.
09:07No último dia, ele percorreu 180 quilômetros.
09:11Então, o último dia está aqui.
09:12180, certo? Eu não sei quem é a N.
09:16Completando o treinamento com um total de 1.560 quilômetros,
09:21o autor dá a soma para a gente também.
09:23Então, o autor deu o primeiro termo, que é 60.
09:26Deu o último termo, que é 180.
09:28E ainda deu a soma, tá certo?
09:30A soma que é 1.560.
09:32Beleza. Lembrando, está faltando o valor de R.
09:34Eu vou atacar aqui na soma, certo galera?
09:37Sn é igual a 1, mais a N,
09:42dividido por 2, vezes N.
09:45Vamos tentar substituir as coisas aqui. Se liga aí, tá?
09:48Sn eu vou substituir por 1.560.
09:53Pronto. A1 eu tenho, que é 60.
09:56A N eu também tenho, que é o último, que é 180.
09:59Coloco aqui 180.
10:01Dividido por 2, vezes N, tá?
10:04Se a gente resolve essa equação que eu montei aqui agora,
10:07a gente acaba achando o valor de N.
10:09Ou seja, quantos termos tem a P.A.?
10:11Aí depois a gente vai para o terceiro passo, que é achar a razão, tá bom?
10:14Vou puxar uma setinha para aqui.
10:16Aí vai ficar o seguinte, 1.560 é igual...
10:20Aqui, 60 mais 180 vai dar 240.
10:24Dividido por 2, 120.
10:26120, N.
10:28Eu vou cortar aqui agora 0, com 0.
10:31N é igual a 156,
10:35dividido por 12, tá?
10:38O que eu vou fazer aqui assim, é só conferir aqui.
10:41156 por 12 dá 1.
10:43Sobra 3 aqui, 13, tá?
10:45N é igual a 13.
10:47Cuidado para não marcar esse 13 que está aqui na questão, viu galera?
10:51Cuidado, viu?
10:52Cuidado, a gente testa as vezes, né?
10:54Acha o número aqui, vê na alternativa e se empolga logo.
10:57Toma cuidado.
10:58O autor está pedindo o que aí, futuros aprovados?
11:00O autor está pedindo o valor da razão, tá?
11:03Pronto.
11:04Observe.
11:05Se eu tenho o A1, eu tenho o AN que é 180 e ainda o N,
11:10se eu jogar na fórmula do termo geral, vai sair o valor de R, concorda comigo?
11:14Então vamos nessa.
11:15AN é igual a 1 mais N menos 1, que multiplica R.
11:23Pronto.
11:24AN seria o último, 180, que é igual a 1, 60, mais N,
11:30eu acabei de descobrir que é 13.
11:32Se liga, 13 menos 1 é 12, 12R.
11:36Esse 60 passa negativo, então vai ficar 120, não é?
11:40Porque 180 menos 60 é igual a 12R.
11:43R é igual a 120, dividido por 12, R é igual a 10.
11:50Uma questão um pouquinho mais capciosa, mas valeu muito a pena, certo?
11:55Não posso me esquecer de pedir um favor para vocês, tá?
11:58Que é se inscrever aqui no canal, curtir aí as coisas do canal,
12:02pode compartilhar com os amigos, tá certo?
12:04É muito importante para a gente que vocês dêem esse retorno aí para a gente, tá bom?
12:08Porque o objetivo nosso aqui é cada vez mais te apoiar aí com a aprendizagem matemática, tá certo?
12:14Tentar ir quebrando esses tabus aí que a gente tem a mania de ouvir,
12:19sobre a dificuldade da matemática, a impossibilidade de aprender.
12:23Então estamos aqui para isso, tá?
12:24Para ir aos poucos deixando as coisas claras para vocês, tá?
12:28Vamos nessa.
12:29Tem mais uma questão aqui que eu acho um verdadeiro clássico para vestibular e para concurso,
12:34essa questão aqui, para prova de treinio também.
12:36Essa questão dos triangulozinhos.
12:38Números triangulares são números que podem ser representados por pontos
12:43arranjados na forma de triângulos equiláteros.
12:46Triângulo equilátero, galera, só uma observação,
12:48são triângulos que têm as três medidas dos lados iguais, tá?
12:52É conveniente definir um como primeiro número triangular.
12:57Primeiro número triangular.
12:58Aqui está a representação.
12:59Então você está aqui, tá vendo?
13:00Você tem aqui 1, depois você vai ter três pontinhos aqui, seis pontinhos aqui.
13:06A pergunta é, se Tn representa o enésimo número triangular,
13:10pode-se deduzir que o T100 é igual a?
13:13Então Tn representa o enésimo número triangular.
13:16Esses números que estão aqui embaixo são chamados de números triangulares.
13:201, 3, 6, 10.
13:23Aí ele quer que você encontre o centésimo número triangular, tá bom?
13:27Agora é o seguinte, eu preciso ajudar vocês aqui com um detalhe.
13:30Quer ver?
13:33De 1 para 3 é 2.
13:35De 3 para 6 é 3.
13:37Então observe que não vai ter uma razão aqui.
13:39Nem adianta você tentar colocar o termo geral aqui, que não vai dar certo, tá?
13:42Porque esses números aqui não formam uma P.A.
13:45A sacada dessa questão, toda vez que tiver esses triangulozinhos,
13:48vocês vão pensar assim pra mim, presta atenção, tá?
13:51Toda vez que tiver esses triangulozinhos, a formação triangular,
13:55vocês vão falar assim, ó, esse primeiro tem 1.
13:58O segundo número, aqui é o primeiro número triangular, tá?
14:01Aqui é o T1, triangular 1.
14:03Aqui é o segundo número triangular.
14:05Aqui é o terceiro número triangular.
14:07O segundo vai ter 2 na base, 2 bolinhas na base e 1 em cima, né?
14:112 mais 1.
14:12Esse outro número vai ter 3 bolinhas na base, 3,
14:16mais 2 aqui, mais 1.
14:183, mais 2, mais 1.
14:20Já entenderam a lógica?
14:21E o T4 vai ter o quê?
14:234 na base, 4, mais 3, mais 2, mais 1.
14:28Então pra eu achar o T100,
14:30seguindo o mesmo padrão aqui que eu encontrei, tá?
14:33O T100 vai ter quantas bolinhas na base?
14:35100.
14:36Vai ter 100.
14:37Depois vai ter 99.
14:40Depois vai ter 98.
14:42Vai triangulando até chegar onde?
14:44Até chegar no 1, tá galera?
14:46Agora essa conta eu não vou fazer,
14:48porque nós já fizemos isso no primeiro slide desse vídeo, não foi?
14:51A gente já sabe quanto é que dá 100 até chegar em 1.
14:54Mas o mais bacana dessa questão é levar pra vocês o raciocínio,
14:58como vocês devem agir pra essas questões de formação triangular.
15:03Então, 5.050.
15:05Lembra da história de Gauss?
15:075.050.
15:09Beleza, beleza, beleza.
15:11E agora eu vou fazer o nosso último exemplo aqui
15:13pra gente finalizar esse nosso vídeo, tá bom?
15:15Essa é a nossa última questão, galera.
15:17Uma questão boa, uma questão capciosa,
15:20que vai servir também pra gente diferenciar um pouquinho
15:23quando usar N e quando usar SN, tá?
15:26Geralmente tem essa confusãozinha com os alunos
15:28por conta da interpretação mesmo do texto, tá?
15:31Aqui passa por uma questão de interpretação mesmo.
15:35Português, tá?
15:36Vamos nessa.
15:37Um objeto é solto de um balão em voo
15:41e cai em queda livre percorrendo 3 metros no primeiro segundo.
15:463, vamos colocar aqui.
15:4812 metros no segundo.
15:51No segundo, não é do total, não.
15:53Então, no primeiro caiu 3 metros.
15:56No segundo, 12 metros, tá?
15:58Vai imaginando a situação aí que eu já tô imaginando aqui também.
16:01No terceiro, 21.
16:03E assim por diante, tá?
16:05Continuando nessa sequência, eu já vou parar aqui.
16:09Eu percebo que essa sequência tá sempre somando a mesma coisa, tá?
16:13Tá somando 9 aqui.
16:15Nós temos aqui 1 ampere de razão 9.
16:18Pergunta.
16:19O objeto atinge o solo após 19 segundos.
16:25Isso é importante, tá?
16:26É o N.
16:27A que altura do solo esse objeto foi solto?
16:31Então, gente, nessa questão, ele quer saber a altura geral, tá?
16:35Qual a altura lá de cima esse objeto foi solto?
16:38Porque ele foi caindo 3 metros no primeiro segundo,
16:41depois 12 metros, 21.
16:43Então, nessa questão, o autor quer que você dê o acumulado,
16:47que você entregue pra ele aqui a soma de todos os segundos, tá bom?
16:51Detalhe importante aí, não é a N.
16:53A gente precisa nessa questão de Sn,
16:56que a gente vai revisar aqui a fórmula.
16:58A1 mais a N, dividido por 2, vezes N.
17:03Agora, lembram que a gente, antes de fazer o Sn, tem que fazer o a N.
17:08Bora fazer o a N primeiro, né?
17:10Agora, a N é igual a 1 mais N menos 1, vezes R.
17:17Aí vai ficar a... o N é 19, viu, galera?
17:20A19.
17:21Quem é o primeiro termo?
17:22Vamos dar uma olhadinha aqui na PA.
17:243 mais 18.
17:27Por que 18?
17:28Porque 19, que é o N menos 1, 18.
17:30Vezes a razão, que é 9, tá?
17:3318 vezes 9.
17:3410 vezes 9 é 90.
17:368 vezes 9 é 72.
17:39Então dá 162.
17:40Essa continha dá 162, tá certo?
17:42Mais 3, 165.
17:45Eita, lasqueira.
17:46Essa é uma das questões que muita gente marca a letra B, não é?
17:50E sai de casa feliz.
17:52Broqueia aquela questão lá de PA, mas infelizmente não brocou,
17:55porque essa questão precisava ir um pouco além.
17:58Esse 165, só pra vocês interpretarem aí,
18:01significa assim, ó, no segundo 19,
18:04durante o segundo 19, despencou 165 metros.
18:08Mas ele quer a altura total aqui.
18:10Aí eu vou ter que vir pra soma.
18:12Sn é igual a 1.
18:15A1 é 3, bota aqui,
18:17mais An, eu acabei de descobrir,
18:19165,
18:21dividido por 2, vezes 19, tá?
18:25Soma dos 19 é igual a
18:28168 sobre 2 vezes 19.
18:35168, aí vai dar 80,
18:38dividido por 2, 84 vezes 19.
18:41Não sei se vocês têm essa manha aqui, ó.
18:43Reparem, ó.
18:4484 vezes 19.
18:46Às vezes não precisa fazer a conta toda, não,
18:48porque 9 vezes 4, 36.
18:50Tem que acabar com 6, né?
18:52Só tem aqui na letra D, de dado,
18:54a única alternativa que acaba com 6.
18:56Às vezes ajuda esse processo.
18:58Só pra finalizar, tem uma questão também
19:00que eu gosto sempre de citar em sala de aula,
19:02que é uma questão que diz assim, ó,
19:04quando eu estudar matemática, tá?
19:06Aqui pelo canal do Vaguinho.
19:07Aí, vou escrever ela aqui rapidinho pra vocês,
19:09vale a pena entender.
19:11Aí ele falou o seguinte,
19:12eu vou fazer 7 questões de matemática hoje,
19:14amanhã eu faço 10, tá?
19:16Depois da manhã eu faço 13.
19:18E vai seguindo essa onda aqui
19:20e até ser aprovado no Enem ou no concurso.
19:23Se eu perguntasse assim pra vocês,
19:25no 15º dia,
19:28no 15º dia,
19:30quantas questões de matemática ele vai resolver?
19:33Se eu perguntasse no 15º dia,
19:35você teria que fazer o AN, tá galera?
19:37Naquele dia.
19:39Agora, se eu perguntasse pra vocês
19:41em 15 dias,
19:43em 15 dias,
19:45quantas questões de matemática ele resolveu?
19:47Aí você aplicaria o que?
19:49SN, tá bom?
19:51É um dos erros comuns aqui.
19:52Eu fiz até um vídeo aqui pro canal,
19:54que é erros mais comuns, mais frequentes
19:56em provas de matemática.
19:57E esse eu elenquei lá,
19:58vale a pena assistir, tá bom?
20:00Gente, chegamos ao final de mais um vídeo aqui.
20:02Quero agradecer você aí muito
20:04por estar me acompanhando,
20:06por estar me prestigiando, tá certo?
20:08E eu peço a força.