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00:00Bonjour à tous et bienvenue dans cette nouvelle vidéo. Je suis Marine, journaliste à l'étudiant
00:18et aujourd'hui nous allons corriger l'épreuve de mathématiques, donc le jour 2, qui s'est
00:24tenu donc aujourd'hui, ce jeudi 20 juin 2024. Et pour ça, je suis avec Abdelafid Senoun,
00:29vous êtes professeur de mathématiques au lycée Sainte-Geneviève à Asnières-sur-Seine. Merci
00:35beaucoup d'être présent pour se corriger. Oui, je vous en prie, ça me fait plaisir d'être chez
00:40vous. On va pas tarder à commencer, mais peut-être juste avant, qu'avez-vous pensé globalement de ce
00:46sujet de mathématiques ? Franchement, je dirais que c'est un bon sujet. Ça commence à devenir
00:52vraiment des sujets de bac, il y a une dizaine d'années, 20 ans comme ça. On retrouve un niveau
01:00élevé et ça peut donner aux prochains élèves des idées sur comment il faut préparer le bac,
01:07d'être plus sérieux et plus travailleur. Alors on va voir un petit peu dans le détail,
01:12entre guillemets, un peu chaque exercice. On va commencer donc avec l'exercice 1,
01:17qui était un exercice de probabilité. C'est un exercice de probabilité. Jusqu'à la question 4,
01:21pas de problème, les élèves pourront l'aborder facilement, des choses qu'on a l'habitude de faire
01:26en classe. Vous avez les questions 5 et 6 qui dépendent un petit peu des derniers chapitres.
01:31C'est la loi bien-aimée Bechiviceb, alors que nous, on ne l'utilise pas beaucoup. C'était
01:38dans le nouveau programme, mais ça a été fait. Oui, mais ça pouvait être une petite difficulté
01:44dans cet exercice. Ça pourrait être une petite difficulté pour certains élèves,
01:48mais pas pour la majorité. Alors est-ce qu'on peut regarder un petit peu ce premier exercice ? Oui,
01:54le premier exercice, dans les premières questions, c'est par lecture de l'énoncé,
01:58pour répondre aux questions. PQ 0,917, c'est donné dès le début. PQ bar sachant R bar,
02:06même chose, c'est 0,65. C'est d'après l'énoncé, c'est marqué, 65% des étudiants ayant échoué ont
02:13répondu non. Pour la question 2, déterminer X, donc ils doivent compléter l'arbre de probabilité,
02:20montrer que X égale 0,9, il y a juste une équation à résoudre, en utilisant la formule des
02:27probabilités totales, sachant que P de Q égale P de R inter Q plus P de R bar inter Q. Et là,
02:34on a une équation 0,917 qui est égale à 0,98 fois X plus 1 moins X fois 0,35, et on obtient
02:43X égale 0,9. Voilà, donc c'est ce qu'il fallait faire. Et la question 3, c'est une question de
02:49probabilité conditionnelle, P de R sachant Q. Là aussi, c'est une formule qu'ils ont l'habitude
02:55d'utiliser, P de R inter Q sur P de Q, et on arrive à 0,962, c'est une valeur arrondie, à 10 moins 3,
03:02c'est ce qui est demandé. Pour la question 4, on a une loi binomiale, donc une ou d'entre toutes les
03:10paramètres, N égale 20 et P égale 0,615. Donc, ils demandent de chercher la directrice qui souhaite
03:19attribuer une récompense aux étudiants et ont obtenu les meilleurs résultats, à partir de quelle
03:23note doit-elle attribuer les récompenses pour que 65% des étudiants soient récompensés ? Donc,
03:29il faut chercher P de N supérieur ou égal à A, c'est ce qu'on cherche, qui doit être supérieur ou
03:36égal à 0,65. On passe par le contraire, c'est-à-dire 1 moins P de N inférieur ou égal à 1 moins 1,
03:42qui doit être supérieur ou égal ou inférieur ou égal à 0,35. Et là, c'est avec la calculette,
03:48on a le résultat. Même chose pour les questions suivantes, il y a des formules du cours,
03:53E de S, ils nous disent bien que les variables aléatoires N1, N2 jusqu'à N10 sont indépendantes,
04:00donc on a les formules E de S qui est égal à E de N fois 10 et V de S égale V de N fois 10.
04:07Ils nous donnent une variable aléatoire grand M, c'est la moyenne, donc S sur 10, donc même chose,
04:13E de M égale 1 sur 10 E de S et V de M, 1 sur 10 V de S. Là, il suffit de remplacer pour faire
04:22les calculs. 1 sur 10 au carré fois V de S, pardon. Et enfin, la dernière question, il faut
04:29chercher la probabilité que M soit compris entre 10,3 et 14,3. On veut qu'il soit, donc là,
04:36il faut utiliser l'inégalité de Bien-Aimé Tchébitcher. Et on trouve que l'affirmation est
04:41vraie. Ça, c'est pour l'exercice 1. Alors, on va passer tout de suite à l'exercice 2,
04:46un exercice de suite. Un exercice de suite, surtout la première partie, voilà, qui suffit
04:54juste d'utiliser vraiment tout ce qu'on a vu en cours. Je vois, par exemple, pour la première
05:00question, justifier que cet ajout de chlore fait augmenter le taux. Donc, il faut passer de 15
05:05grammes de chlore pour arriver à 0,3 milligramme par litre. Il suffit de faire 15 divisé par 50,
05:12c'est-à-dire, il faut mettre tout en milligramme et litre. On peut dire c'est 15 000 sur 50 000
05:17milligramme par litre et on obtient 0,3 milligramme par litre. Et bien sûr, la question 2, on arrive
05:26à une relation de récurrence VN plus 1 égal 0,92 VN plus 0,3. On utilise la récurrence pour
05:34démontrer que VN plus 1 est supérieur ou égal à VN, inférieur ou égal à 4. Donc ça, il s'affaire
05:41avec les étapes initialisation en calculant V0, V1, ça vérifie. Et après, on passe à l'hérédité,
05:48c'est-à-dire, on va montrer qu'en partant de P de N, on arrive à P de N plus 1. Donc, pour ça,
05:54en partant de l'hypothèse de récurrence, en multipliant chaque membre par 0,92 et on ajoute
06:010,3 à chaque membre, on arrive à l'hérédité qui est vérifiée. Et puis là, la suite, donc,
06:07on peut dire que VN est croissante puisqu'on vient de montrer que VN plus 1 supérieur ou égal à VN
06:13est majoré par 4, inférieur ou égal à 4. Il y a le théorème de convergence monotone, VN converge.
06:19Donc, il admet une limite réelle, L. Et cette limite doit être comprise entre 0,7 et 4. Alors 0,7,
06:27c'est V0. Et bien sûr, on demande de calculer cette limite. Là, il suffit de résoudre l'équation
06:33F de X égale X en prenant V de N plus 1 égale F de V de N. Et donc là, on a F de X égale 0,92 X
06:42plus 0,3 qui est égal à X et on tombe sur X égale 3,75. Alors la question, à long terme, le taux de
06:50couleur sera-t-il conforme? Et bien non, parce qu'on a trouvé 3,75 alors que pour que ça soit conforme,
06:56il faut que le taux soit compris entre 1 et 3 mg par litre. Alors, question 4. Donc, on doit
07:04compléter l'algorithme avec le programme langage Python. Donc là aussi, on cherche V de N supérieur
07:12à S. Donc, while tant que V est inférieur ou égal à S. On passe à N qui est égal à N plus 1. Et bien
07:20sûr, la relation de récurrence, donc V égale 0,92 V plus 0,3. Et quand on rentre pour S égale 3,
07:28c'est-à-dire on cherche que V à partir de quelle valeur de N? V de N est supérieur à 3. Et là,
07:38je suis tombé sur, je regarde, à partir du 17e jour. Voilà. Donc, jusqu'au 16e jour, le taux de
07:48chlore est conforme. À partir du 17e jour, donc, il n'est plus conforme. Et enfin, la partie B,
07:55on a une équation différentielle Y prime qui est de la forme Ay plus B. C'est B, donc A est égal
08:03à moins 0,08 et B, Q sur 50. Donc, les élèves connaissent la formule. Pour trouver les solutions
08:10de cette équation différentielle, c'est tout simplement F de X égale C exponentielle AX moins
08:17B sur A. Donc, en vérifiant tout ça, on tombe sur F de X égale C exponentielle moins 0,08X plus Q
08:25sur 4. Alors, on demande d'exprimer, donc on calcule la limite tout simplement, sachant que
08:31moins 0,08X tend vers moins l'infini. Exponentielle de X quand X tend vers moins l'infini, c'est 0.
08:38Donc, on arrive à la limite de F de X qui est égale à Q sur 4 quand X tend vers plus l'infini.
08:43Et enfin, dans la question B, on va déterminer, on a les conditions. Alors, les conditions, c'est F
08:50de 0 égale 0,7 et la limite Q sur 4 qui est égale à 2. Voilà, il nous donne ici, on souhaite le taux
08:58de chlore se stabilise à long terme autour de 2 mg par litre. Donc, on détermine à partir de ces deux
09:05conditions, on trouve Q égale 8 et C égale moins 1,3. Très bien. Passons à l'exercice 3. Alors,
09:12l'exercice 3, très intéressant, un peu long aussi. Il fallait y passer du temps. Il fallait
09:19y passer du temps, mais je pense que les élèves peuvent le faire facilement puisque, en général,
09:25les profsons, ils aiment bien, ils ont l'habitude de faire. Donc, c'est quelque chose qui se fait
09:31par tous les élèves. Avec d'abord une première partie lecture graphique. Donc là, il s'affaire à F
09:40de moins 1. Moi, j'ai fait le calcul, c'est moins 2. F prime de moins 1 égale à 1. La question 2,
09:47c'est F est-il convex ? Donc, il suffit de regarder si les tangentes sont au-dessus ou en dessous.
09:52Donc ici, on voit bien qu'il n'est pas convex sur moins 2 plus l'infini. Attention, on travaille
09:56sur moins 2 exclu plus l'infini. Question 3, toujours graphiquement, F de x égale 0, on a une
10:01solution qui est environ 0,1. La partie B, là, il nous donne la fonction et déterminer les limites
10:10en moins 2, ce n'est pas compliqué. Là, vous avez x plus 2. Quand x est envers moins 2, c'est 0 plus,
10:15puisqu'on a sur moins 2, moins 2 positif, ce qui donne ln de x plus 2. Quand x est envers moins 2,
10:24ça donne moins l'infini. Après, par somme, on tombe sur moins l'infini. Donc, limite de F de x,
10:31quand x est envers moins 2, est égale à moins l'infini. On admet que la limite, quand x est envers
10:36plus l'infini, égale plus l'infini. Donc, il n'y a rien à faire. Montrez, donc là, c'est une dérivée
10:41pas très compliquée, n'importe dérivée F de x, x au carré, ça fait 2x plus 2, moins 1, c'est 0.
10:49ln de x plus 2, c'est ln de u, c'est u prime sur u. Donc ici, c'est 1 sur x plus 2. Après simplification,
10:57tout ça, on arrive à l'expression qui est donnée. Pour étudier les variations, il faut chercher
11:03le signe de F prime. En regardant le signe de F prime, on trouve que F prime est positif sur
11:12moins 2 plus l'infini. Donc, F est strictement croissante. À partir de là, le tableau de
11:20variation qui nous donne donc F qui est croissante, moins 2 plus l'infini, vers moins l'infini plus
11:26l'infini. Et là, on va utiliser ce qu'on appelle le corollaire du théorème des valeurs intermédiaires.
11:31F de x égale 0. Donc, on vérifie juste, il faut dire que sur moins 2 plus l'infini, F est
11:36continuée strictement croissante. Limite de F de x quand x tend vers moins 2, c'est moins l'infini.
11:42Limite de F de x quand x tend vers plus l'infini égale plus l'infini, on voit bien que 0 appartient
11:47à moins l'infini plus l'infini. Et donc, on peut utiliser ce théorème. Ce qui nous donne alpha
11:53environ 0,12. On déduit le signe de F de x. Donc là, il le voit tout de suite. Sur moins 2 alpha,
12:00F de x est négatif. Sur alpha plus l'infini, F de x est positif. Question 5. Pour montrer qu'il y a
12:11un point d'affliction, il faut partir sur la dérivée seconde. Ça aussi, ça va faire. Puisqu'on a
12:15F prime de x, on calcule F seconde de x. On tombe sur une expression 2x au carré plus 8x plus 7 sur
12:24x plus 2 au carré. En résolvant F seconde de x égale 0, on trouve deux valeurs. X1, on verra,
12:32moins 1,29. X2, moins 2,7. Attention, on travaille sur moins 2 plus l'infini, donc on prend moins 1,29.
12:39C'est-à-dire la valeur exacte, c'est moins 4 plus racine de 2 sur 2, qui est supérieure à moins 2.
12:44Donc c'est vrai, un unique point d'inflexion est déterminé sans abscisse, donc au point d'abscisse,
12:50moins 4 plus racine de 2 sur 2. Alors la partie C. Donc là, on donne une autre fonction,
12:58G2x, c'est ln de x plus 2. Donc là, on cherche J de coordonnée 0,1, M de coordonnée x, G2x.
13:09Et donc, Jm au carré, là ils savent déterminer ça, c'est x au carré plus, entre parenthèses,
13:23G2x moins 1. Le tout au carré, c'est comme pour chercher la distance, par exemple,
13:28AB au carré, c'est xB moins xA au carré plus yB moins yA au carré. C'est cette formule qu'il
13:34faut utiliser, sauf que le point M ici, c'est x et G2x. Donc on tombe sur Jm au carré, qui est
13:42égal à H2x, c'est-à-dire x au carré plus, entre parenthèses, ln de x plus 2 moins 1, le tout au
13:49carré. Donc on a cherché H prime de x, on l'admet d'ailleurs, donc on n'a pas besoin de chercher,
13:56et on trouve H prime de x égale à 2 f2x sur x plus 2. Le tableau de variation, donc on voit sur
14:02moins 2 plus l'infini x plus 2, strictement positif, finalement H prime de x est du signe de f2x.
14:08Et comme on a déjà déterminé le signe de f2x avant, donc finalement H prime est négatif sur
14:14moins 2α et positif sur α plus l'infini. Avec ça, on a des variations, c'est-à-dire H qui est
14:21décroissante sur moins 2α et croissante sur α plus l'infini, ce qui nous donne un minimum.
14:29C'est ce qu'il fallait trouver puisqu'il demande à en déduire la valeur de x pour laquelle la
14:34distance gm est minimale. Donc ici ce qu'on a cherché c'est gm au carré admis à minimum,
14:38donc gm admis à minimum en α. Alors la question 3 qui est intéressante aussi, on va montrer que,
14:46montrer, il demande de montrer une égalité, il suffit de partir sachant que f de α égale 0,
14:54en remplaçant dans f2x, on tombe bien sur ln de α plus 2 égale 1 moins 2α moins α au carré.
15:01Et pour la question B, il faut chercher le coefficient directeur de la tangente qui est le
15:08nombre dérivé, c'est-à-dire g prime de α, donc qui est égal à 1 sur α plus 2, c'est-à-dire il
15:12faut chercher d'abord g prime de x, c'est 1 sur x plus 2, c'est assez à faire, et chercher le
15:17coefficient directeur de la droite gm α. Et cet coefficient directeur, c'est la différence des
15:25ordonnées sur la différence des abscisses, on tombe sur ln iα plus 2 moins 1 sur α, c'est-à-dire
15:33on arrive à g de α moins 1 sur α. Et quand on fait le produit des deux coefficients directeurs,
15:39on tombe sur moins 1. Donc c'est ce qu'il fallait trouver, puisqu'il demande justement en
15:44déduire que la tangente au point mα et la droite sont perpendiculaires. Donc là, c'est fait et c'est
15:52ce qu'il fallait faire. Dernier exercice, on a des affirmations à démontrer, à justifier.
16:00Et ce sera démontré dans l'espace. C'est vrai que d'habitude, c'est des QCM, on n'a pas besoin de
16:07justifier. Et là, les élèves seront un peu surpris parce qu'il faut justifier chaque affirmation pour
16:13avoir des points. Il y a un point par chaque affirmation. Donc si je prends l'affirmation 1,
16:18il nous donne donc les coordonnées des points. Il demande est-ce que les points A, C et D définissent
16:23le plan tel ? Alors on peut d'abord regarder que les points A, C et D ne sont pas alignés. Il suffit
16:29de vérifier que A, C et D ne sont pas collinières. Et après, il suffit de prendre le point A. On voit
16:34que ces coordonnées vérifient l'équation du plan P. C aussi, D aussi. Donc il suffit de remplacer
16:42l'affirmation 1 est vraie. L'affirmation 2, il nous demande est-ce que les points A, B, C et D sont
16:49coplanaires. Donc là, il faut chercher est-ce que les vecteurs A, B, A, C et A, D sont coplanaires.
16:55Donc vous savez bien comment une propriété que trois vecteurs sont coplanaires. Si on prend un,
17:00on peut l'écrire par une combinaison linéaire, c'est-à-dire en fonction des deux autres. Donc
17:06s'il faut regarder, existent-ils deux réels, par exemple alpha et bêta tels que AB égale alpha
17:12AC plus bêta AD. Voilà, en faisant les calculs, on a trouvé que ce n'est pas vérifié. Donc
17:17l'affirmation est fausse, c'est-à-dire les quatre points ne sont pas coplanaires. Si ils ne sont pas
17:22coplanaires, donc ils n'appartiennent pas à un même plan. L'affirmation 3, alors pour chercher
17:28est-ce que AC et BH sont séquentes. Donc là, il faut d'abord regarder est-ce que AC et BH sont
17:35collinières. Avec les coordonnées, on trouve qu'ils ne sont pas collinières. Donc s'ils ne sont pas
17:41collinières, c'est-à-dire ils ne sont pas parallèles. Attention, ce n'est pas parce que AC et BH ne sont
17:47pas parallèles qu'ils sont séquentes. Parce qu'ils sont séquentes s'ils appartiennent à un même plan.
17:52Sinon, ils sont non coplanaires. Et là, il faut chercher, la meilleure méthode c'est d'aller
17:57chercher une représentation paramétrique de la droite AC et une représentation paramétrique de
18:04la droite BH. Donc pour AC, j'ai donné 1, x égale 2 plus 2t, y égale 4t, z égale t, t appartenant à R.
18:13Pour BH, x égale moins t prime, y égale 4 moins 3 t prime, z égale 3 moins t prime, t prime appartenant
18:21à R. En vérifiant tout ça, on a trouvé que ça marche. C'est-à-dire qu'il existe t et t prime qui
18:27vérifient et on a trouvé qu'AC et BH sont séquentes. Et donc l'affirmation est vraie. Voilà. La question 4.
18:36Le point H, on cherche si c'est le projet orthogonal du point D sur le plan ABC. Et il nous donne bien
18:43sûr l'équation cartésienne du plan ABC. On peut commencer par vérifier H appartient-il au plan ABC.
18:50Donc ça marche. En prenant les coordonnées de H, on vérifie dans l'équation. Et maintenant, il faut
18:55vérifier est-ce que la droite DH est perpendiculaire au plan ABC. A partir du plan ABC, on a un vecteur
19:03normal, n, donc de coordonnées, les élèves savent, 1, moins 1, 2, puisque c'est de la forme ax plus by plus cz plus d
19:11égale 0. Donc un vecteur normal, c'est A, B et C. Donc ici, 1, moins 1, 2. On va calculer le vecteur DH, qui est le
19:19vecteur directeur de la droite DH. Et je trouve moins 1, 1, moins 2. Hop, on a bien DH et n qui sont collinières.
19:27Donc DH est perpendiculaire au plan ABC. Et donc c'est encore vrai. Donc finalement, la 1, vrai. La 2, c'est faux.
19:35Et après, vrai, vrai. Voilà.
19:38Merci beaucoup pour tous ces éléments de réponse et de correction. J'espère que ça vous permet de vous situer par
19:45rapport à peut-être ce que vous avez fait sur votre copie. Merci beaucoup pour votre présence.
19:50Je vous en prie. Et voilà, peut-être à l'année prochaine.
19:54Oui, peut-être. Et en attendant, en tout cas, je vous rappelle que vous aurez également très prochainement un
19:58corrigé écrit complet sur le site de l'étudiant.fr. Et en attendant, je vous dis à très bientôt pour une prochaine vidéo.
20:06Voilà. Allez, bon, et sans vacances, le terminat, c'est la dernière spécialité.
20:10Grand oral.
20:10Ah, il reste le grand oral.
20:15Sous-titrage Société Radio-Canada