Conférence INTERSCULPT 2023 / Fête de la Science / Bar-le-Duc
11 octobre 2023
René Thom, mathématiques et sciences de la nature
Dr. Emmanuel FERRAND
Enseignant-Chercheur à l'Institut de Mathématique de Jussieu - Paris Rive Gauche (IMJ-PRG), Sorbonne Université.
11 octobre 2023
René Thom, mathématiques et sciences de la nature
Dr. Emmanuel FERRAND
Enseignant-Chercheur à l'Institut de Mathématique de Jussieu - Paris Rive Gauche (IMJ-PRG), Sorbonne Université.
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00:00 Bonjour à toutes et à tous, nous nous abordons la dernière après-midi de conférence Intersculpt
00:16 2023 sur le thème de l'émergence des formes dans les arts et dans les sciences.
00:24 Nous avons le plaisir de citer cette séance par une conférence d'Emmanuel Ferrand, mathématicien
00:35 et nous l'invitons à nous expliquer un petit peu les travaux de Ron et Tom en particulier.
00:42 Merci Emmanuel d'être venu jusqu'à Barbevue pour cette conférence.
00:46 Merci beaucoup pour l'invitation, je ne regrette vraiment pas du tout d'être venu jusqu'ici.
00:51 C'est déjà une découverte merveilleuse.
00:54 Et puis aussi toute cette activité autour de la sculpture éditive qui m'avait totalement
01:03 échappé, une forme de créativité qui se replace dans mon héritage de Bézier.
01:12 Je suis aussi très touché de voir un grand mathématicien, il y a l'odeur là-bas, à l'entrée.
01:22 Bien, comme vous avez pu le voir, avant de parler de Ron et Tom, je vais expliquer pourquoi
01:29 il me semble extrêmement pertinent dans ce concept-là qu'on va étudier l'émergence des formes.
01:36 Je voudrais citer la personnalité d'Hitler Riggs, qui est un insubsidicien, vulgarisateur
01:42 des sciences, qui est décédé.
01:44 Je dois lui rendre hommage parce que c'est quelqu'un qui a beaucoup apporté aux gens
01:48 de la génération, je crois.
01:50 Quand j'étais enfant, dans les années 70, j'ai lu ce livre, je pense qu'il m'a énormément
01:54 influencé.
01:55 Alors je n'ai pas vraiment lu les livres suivants, mais ce livre-là, depuis une cinquantaine
02:00 d'années, peut-être un peu moins, il est extrêmement important au sens que il recrace
02:10 un tableau, j'ai envie de dire, polistique de l'univers.
02:15 Et vous allez voir que quelque part, ça va rejoindre un petit peu les choses dont je vais
02:20 parler plus tard au sujet de Ron et Tom.
02:23 Je ne sais pas, je n'ai aucune idée, on m'a pas dit si ces deux personnes qui sont contemporaines,
02:27 Ron et Tom et Hubert Hill, se sont rencontrés un jour, je n'en sais rien.
02:33 J'imagine qu'elles auraient eu des choses à se raconter.
02:37 Je laisse ça aux historiens des sciences.
02:43 Alors, après cet hommage, je vais passer au livre du sujet.
02:58 Ce livre-là, c'est un livre qui est en centaines de pages.
03:23 C'est un test d'intelligence, comment on fait ça, vraiment intéressant.
03:33 Il est en plein écran, puisqu'il est marqué "appuyez sur échappement".
03:38 Oui, oui, mais alors j'aimerais que j'aie de la votre slide, pas de slide.
03:41 J'aurais proposé à vous que ça marche.
03:43 Voilà.
03:44 Parfait.
03:45 Ça marche.
03:46 Bien, je vais devoir présenter un immense mathématicien, je pense un des plus importants du XXe siècle, Ron et Tom.
03:56 Ils ont fait le centre-mère de la naissance cette année.
04:01 C'est une personnalité extrêmement originale dans les sciences, et je vais essayer de vous en convaincre.
04:11 Alors, je sais pas, j'imagine que vous avez entendu parler de cette personne.
04:16 Et peut-être que si vous voulez que je vous explique en anglais, vous pouvez m'interrompre.
04:23 Mais je vais commencer par une histoire un peu étrange sur Ron et Tom et la mathématiques.
04:32 Donc, Ron et Tom sont nés à Montbéliard dans une famille de petits comminçants en 1923.
04:42 C'était une époque où cette catégorie sociale pouvait accéder facilement aux grandes écoles et à faire des études dans les meilleures institutions de la République.
04:57 Et donc, il a pu faire une thèse jusqu'à la sortie de la Seconde Guerre mondiale, extrêmement originale,
05:07 qui lui a valu un bénéfice en 1958.
05:12 Il est décédé en 2002 à Tours-sur-Yvette, et Tours-sur-Yvette, évidemment, il n'y a pas de S à Yvette.
05:19 C'est la ville où je réside aussi.
05:21 Et donc, Tom était en quelque sorte un voisin.
05:27 Et je l'ai rencontré au précédent millénaire, quand j'étais étudiant.
05:35 Il était déjà assez âgé.
05:38 J'ai mal choisi la photo ici, elle est très pixelisée.
05:42 C'est quelqu'un qui avait cette tête très caractéristique.
05:48 Et donc, la deuxième photo que j'ai choisie, vous voyez, il a gardé un tableau noir.
05:52 C'est extrêmement important.
05:54 Il a écrit quelque part dans un article que je lui ai ramené ici, d'ailleurs, si vous voulez le consulter.
06:00 Pour lui, l'objet mathématique fondamental, c'est la ligne tracée à la crête sur un tableau noir.
06:09 Donc, c'est complètement atypique comme mode de pensée.
06:21 Dans un monde du 20ème siècle, dans la mathématique française, s'est développée au contraire une vision extrêmement formaliste des mathématiques, associée au cours Bacchi.
06:33 On a fait très attention à définir proprement des axioms et faire des constructions solides et claires.
06:39 Et d'une certaine manière, René Tom, bien qu'il ait été extrêmement célèbre et reconnu, la qualité de son travail scientifique,
06:49 il s'est mis un petit peu en retrait de cette tendance qui a quand même dominé les mathématiques françaises pendant une bonne partie du 20ème siècle.
06:59 Il a eu la médaille fixe d'être appris en topologie.
07:07 Les travaux de René Tom ne sont pas forcément faciles à expliquer. Ils nécessitent un vocabulaire relativement technique.
07:17 C'est mon domaine de la topologie différentielle et de la géométrie différentielle.
07:24 C'est mon domaine de recherche et de travail. Si vous êtes intéressé par ces questions, vous pouvez venir me voir en privé.
07:32 Je vais essayer plutôt de donner une vision extrêmement grossière, mais qui je pense essaie de garder le sel des idées principales de René Tom.
07:45 Vous verrez d'ailleurs par la suite, dans la deuxième partie de l'exposé, que c'est quelqu'un qui avait une conception assez particulière de l'explication mathématique
07:58 qui je pense justifie ou est compatible avec cette approche informelle que je vais adopter à partir de maintenant.
08:06 Les travaux de René Tom qui ont valu la médaille fixe relèvent de la topologie algébrique et différentielle.
08:15 Il a considéré une notion qu'on appelle le cohortisme. Je ne vais surtout pas donner de définition précise. Il faut dire un truc.
08:23 Il y a en mathématiques, ça c'est indépendant de Tom, une idée extrêmement profonde qui est liée au concept de Bohr.
08:32 Le Bohr a un objet géométrique. C'est une feuille de papier, c'est la frontière.
08:42 Il y a une idée vraiment profonde qui est qu'un Bohr n'a pas de Bohr.
08:48 Si vous prenez le Bohr de cet objet ici en rectangle, lui-même en tant qu'objet unidimensionnel, il est refermé sur lui-même.
09:00 Il n'a pas de... Il est comme un segment qui repose d'extériorité.
09:06 Ce concept de Bohr, quand on l'iter deux fois, il devient égal à zéro.
09:16 Voilà. Donc il y a des idées comme ça qui reviennent à extraire des observations de ce type
09:26 et qui nécessitent malheureusement un langage assez technique. Il faut introduire le concept de variété différentielle, de variété topologique,
09:33 de homotopie, d'isotopie, de toutes sortes de choses.
09:38 Malheureusement, on ne peut pas formuler dans ce cadre-là la théorème directement démontrée par René Tom dans sa thèse.
09:45 Mais par contre, je peux l'illustrer de la manière suivante. Je vais tenter d'illustrer de la manière suivante.
09:52 Alors déjà, qu'est-ce qu'on entend par topologie géométrique ?
09:58 Vous avez ici à l'écran une image de ce qu'on appelle un tord de trou. C'est une image que j'ai piqué sur Wikipedia.
10:06 Il y a un auteur que j'ai cité dans un coin. Je m'excuse auprès de la personne qui a fait cette image.
10:13 Mais bon, ça montre, ça donne une intuition du type d'objet qu'on considère en topologie différentielle.
10:20 Des objets qui sont relativement lisses et qui peuvent, dans l'image d'une surface, dans notre espace tridimensionnel,
10:31 c'est quelque chose de... une sorte de bonne intuition de ce qu'on peut généraliser dans d'autres dimensions.
10:38 Alors là, c'est tout petit, mais j'ai amené une sorte de bracelet en caoutchouc.
10:46 Vous voyez, c'est une sorte de fil de téléphone qui se referme sur lui-même, qui est un objet que je suis en train de déformer.
10:53 Et c'est bien là l'idée de la topologie par rapport à la géométrie.
10:57 Il y a la géométrie, je fixe cet objet, je regarde sa forme, je regarde tout ce que vous fabriquez avec vos machines ici.
11:03 En topologie, on va regarder ces objets, puis il y a une déformation auprès.
11:07 On s'entendait que j'allais déformer sans respecter les courbures, sans respecter les longueurs, les distances, etc.
11:15 Il faut juste ne pas casser la ficelle.
11:18 On va garder une sorte de classification très grossière des objets.
11:24 On se dirait que c'est la même classe d'objets topologiques que je manipule en ce moment.
11:34 Pour donner une idée de la topologie différentielle dans un cadre extrêmement concret, je vais poser ce micro.
11:45 Je sais pas si vous voyez. C'est juste le moment d'aller là.
11:50 Je vais donner l'exemple de ce qu'on appelle la théorie des nœuds.
11:59 Un nœud, c'est une courbe dans l'espace qui se referme sur elle-même.
12:07 Je vais prendre un tuyau, je vais mettre un petit truc à l'intérieur, ça permet d'avoir un système pour refermer.
12:13 J'appelle le nœud trivial le nœud obtenu avec un cercle tout net.
12:19 En appliquant les idées dont je vous parlais tout à l'heure, déformer sans couper la ficelle, il est facile de se convaincre qu'il y a des nœuds qui sont vraiment noués.
12:30 Je ne peux pas déformer dans ce nœud très simple que je vais montrer tout à l'heure sans couper la ficelle.
12:40 Ce que je suis en train de vous montrer ici, c'est ce qu'on appelle un nœud trèfle.
12:44 Ce que je veux trivialiser, c'est le casse-nœud.
12:50 C'est une opération que je m'interdis.
12:53 L'idée de la topologie dans l'esprit de Tom, à mon avis, c'est de faire émerger le discret.
13:08 Ils sont des invariants algériens, peut-être plus généralement que les choses plus ou moins discrètes, à partir du continu.
13:16 Les objets géométriques dont je parlais, si on relève du continu, on peut les décrire avec des paramètres continu, on peut les déformer continuellement.
13:25 C'est une idée vraiment importante de Tom et à mon avis de tout ce domaine qu'on appelle topologie géométrique.
13:39 C'est qu'émergent du continu, émergent de la géométrie, émergent des objets que je vais montrer ici,
13:49 des informations élémentaires, beaucoup plus simples, beaucoup moins riches,
13:58 de la description géométrique complète des objets initiales, mais qui sont ce qu'on appelle des invariants.
14:05 Des structures, des nombres entiers par exemple, par exemple le nombre de trous dans cette surface.
14:11 Vous voyez, ça c'est une manière, c'est ce qu'on appelle un invariant. Je peux associer un nombre entier à cet objet.
14:17 Je vais dire que j'ai perdu beaucoup d'informations, que j'ai quand même retenu une information fondamentale, c'est que j'ai un objet à deux trous.
14:25 J'ai choisi un théorème classique de ce domaine, qui n'est pas le théorème, mais qui est dans l'esprit de cette émergence du discret à partir du continu.
14:39 Avec l'objet, j'ai de formuler quelque chose à partir de ces deux images.
14:47 Vous avez à l'écran deux images, l'une représente un tord, l'autre est censée représenter une sphère.
14:55 Un tord, vous voyez, c'est une chambre à air, c'est la même chose que ce que j'ai montré en vert tout à l'heure, mais avec un seul coup.
15:01 La sphère, c'est tout, on sait ce que c'est, c'est un ballon, un ombre.
15:05 Imaginez que ces objets géométriques sont voluptes, des poils, des cheveux, et que vous souhaitiez peigner le volupte, c'est-à-dire lisser à chaque point du tord,
15:19 ou à chaque point de la sphère, vous avez un petit cheveu qui tousse, et vous voulez le peigner.
15:26 C'est assez facile de se convaincre que sur le tord, je peux faire ça sans épiques.
15:32 Je peux peigner le tord assez facilement, allonger tous les cheveux le long de la surface, sans qu'il y ait de zone singulière.
15:45 Je vais expliquer ce que c'est qu'une singularité dans un instant.
15:49 Est-ce que vous me suivez ?
15:51 Je ne suis pas très clair, mais imaginez qu'on a mis des petits poils sur ce...
15:56 Si j'avais été sérieux, j'aurais fait un vrai objet avec des imprimantes 3D, j'aurais mis une fourrure dessus,
16:03 et je pourrais monter avec une brosse à cheveux pour peigner le tord.
16:07 Des matériaux souples, on va prendre les ordres.
16:10 Je crois que l'objet physique est plus intéressant que la représentation purement approximative à l'écran.
16:20 Sur la sphère, si je veux faire pareil, imaginez que j'ai une sphère sur laquelle j'ai collé des cheveux en deux points.
16:27 Au moins un point, et en fait, généralement en deux points, comme ici sur ce dessin, vous avez sorti,
16:35 vous n'avez pas le tirage à peigner le truc, il y a des cheveux qui vont pointer vers le haut.
16:41 Vous n'avez pas le tirage à plâtrer.
16:44 Si vous voulez faire ça, continuez pendant avec votre brosse à cheveux.
16:51 Vous pouvez le dire autrement, imaginez à la surface de la Terre, vous avez le champ de vitesse du vent.
17:00 A chaque point de la Terre, vous mettez le petit vecteur vitesse qui indique vers où pointe le vent.
17:11 Et si vous placez un moment où il y a partout du vent, en fait l'hypothèse qu'il n'y a jamais un vent nul,
17:17 donc il y a partout une petite flèche qui met, on dirait une approximation,
17:21 pensez que ça n'existe pas, un point où il n'y a pas de vent, il y a toujours un petit peu de vent,
17:25 et bien, ça ne va pas être possible parce que, quitte à couper la longueur de flèche, vous n'auriez plus peigné la sphère.
17:32 Or, il y a un théorème qui dit que ce n'est vraiment pas possible.
17:35 Il y aura toujours du commentaire des singularités quand vous avez peigné une sphère, et ça c'est la distincte du tord qui lui peut être peignée.
17:43 Croyez-moi, ces choses-là peuvent être parfaitement formalisées,
17:47 et ça montre bien que, voyez, les deux singularités que vous voyez sur ce dessin émergent de la sphère,
17:57 et sur le tord, c'est plutôt zéro, il y a zéro singularité.
18:01 Et ce sont des quantités invariantes qu'on associe, qui émergent de ces objets géométriques.
18:13 Voilà, donc, je passe sur cet exemple, mais il faut aussi rappeler un truc,
18:21 pour René Thun, il y a vraiment ce phénomène qui pour lui est très important,
18:28 pour définir des objets discrets, par exemple, du nombre entier, 1, 2, 3, 4, 5, ou des choses comme ça,
18:34 il faut au préalable avoir un substrat continu.
18:37 Pour lui, il est artificiel de présenter des objets, des concepts discrets,
18:45 sans au préalable les avoir inscrits dans un contexte continu,
18:51 et c'est pourtant comme ça qu'on fait dans le livre, disons, à l'école,
18:55 on apprend d'abord les nombres entiers, ensuite les nombres rationnels, ensuite les nombres réels,
18:59 ensuite les nombres contextes, on fait émerger le continu à partir du discret.
19:03 Et René Thun se mettait vraiment à l'inverse de ça,
19:08 et il nous expliquait que pour pouvoir définir le discret,
19:14 c'est un accident pour le continu, il faut qu'on ait à l'avance une forme intuitive du continu.
19:21 Voilà, et donc à plusieurs reprises, il a formulé ce concept-là,
19:31 et donc voilà, je trouve cette citation vraiment remarquable.
19:39 Le continu, c'est des objets mathématiques critiques qu'on a du mal à définir,
19:45 et le travail des mathématiciens consiste à clarifier les choses,
19:49 malheureusement en pertenant beaucoup d'informations par rapport à la complexité infinie de ce magma indiscernable,
19:57 mais au moins on y voit plus clair, en même, l'aspect structurel du système.
20:03 Donc ce qui est à l'écran après vous, c'est ce qu'on appelle un Nicovericorps,
20:10 un polyèdre qui a 12 sommets et 20 faces en triangulaire, comme vous voyez,
20:22 et puis peut-être organisé de cette manière-là, je ne vais pas m'étendre là-dessus,
20:27 ce qu'il faut comprendre, c'est que si vous oubliez les trois plans qui s'intersectent à l'intérieur,
20:32 vous voyez ce polyèdre, là j'en ai un autre qui est obtenu à partir de celui-ci,
20:43 en prenant des tranches au voisinage de chaque sommet,
20:49 comme vous voyez, au voisinage de chaque sommet, vous avez cinq trilangues qui se rejoignent,
20:55 vous m'arrêtez si vous ne voyez pas le truc, cette vision n'est pas incitée par les plans qui sont à l'intérieur.
21:01 Imaginez que vous donnez un petit coup de couteau tout près de chacun des sommets,
21:06 vous remplacez le sommet blanc, le point blanc ici par un petit pentagone
21:16 qui va apparaître une fois qu'on aura rongé cette matière au voisinage du sommet.
21:26 Et si vous faites ça au voisinage de chacun des sommets, vous avez une surface nosotique, un micro-dèvre tronqué.
21:34 J'ai acheté ça au rayon, j'en jouais pour le chien, c'est-à-dire que c'est à propos des chiens,
21:38 ils ont beaucoup de polyèdres. Et donc pourquoi je montre ça ?
21:42 Alors ce que vous voyez, c'est polyèdres, on a imaginé qu'ils se passaient justement dans une matière molle,
21:47 on a imaginé aussi que les faces soient remplies de matière, et que vous gonflez ce truc,
21:52 vous tombez par exemple ici sur l'asphère, ça peut se faire aussi, on s'est fait causer.
21:57 Et la combinatoire de ces solides, le polypété, du platon,
22:04 elle est en fait fortement reliée justement à ces invariants de l'asphère dont j'ai parlé tout à l'heure.
22:10 Et il y a une sorte de jeu entre cette combinatoire, cette géométrie, on va dire,
22:17 qui mélange le distrait dans une certaine polyèdre, et l'objet en tissu fondamental qui se cache derrière,
22:24 qui est une sphère. Voilà, et donc j'ai choisi cette image pour illustrer ce suivant de mon état.
22:32 Vous allez voir qu'il y a pas mal de punchlines, c'est quelqu'un qui m'est remarquablement bien,
22:36 il s'intéressait beaucoup à la littérature et à la poésie,
22:41 et il avait une très belle langue simple, et c'est un bon livre à mon avis.
22:46 Alors, les travaux qui ont valu la médaille FIBS à René Thôme relèvent un peu ce domaine,
23:00 et il a diffusé, si j'ose dire, un peu plus tard, un domaine connexe,
23:04 qui lui a valu d'une très grande notoriété. En mathématiques on appelle ça la théorie des singularités.
23:10 Il a choisi un mot qui lui a donné beaucoup de visibilité médiatique,
23:21 il a appelé ça théorie des singularités, il a appelé ça théorie des catastrophes,
23:25 il aurait pu appeler ça théorie des bifurcations, tout ce genre de choses.
23:29 Là il a utilisé ce mot "catastrophe", je vais revenir là-dessus dans un instant.
23:33 Le fait est qu'en fait il est surtout connu pour cette théorie,
23:37 alors que selon moi ça cache peut-être le reste de son travail,
23:43 et le reste de sa pensée qui est vraiment très profonde,
23:48 et qui est loin de se limiter à ce moment de notoriété qu'il a eu dans les années 70, 80,
23:54 beaucoup de gens ont utilisé ces concepts, et c'est devenu son ouvrage sur les catastrophes de l'éternité scénarique,
24:08 un domaine qui est vraiment très très technique.
24:11 C'est un épisode qui à mon avis a tendance à masquer la profondeur de sa pensée.
24:18 Là aussi ça va être très difficile d'expliquer formellement le concept de théorie des catastrophes,
24:29 je vous demande de me croire que je dis que c'est une sorte de généralisation des diagrammes de phase qu'on a en thermodynamique classique,
24:38 des changements de phase ici entre un gaz et une vapeur.
24:45 Ça se représente mathématiquement dans les espaces des barrières de thermodynamique,
24:50 par exemple ici une surface, et quand on projette dans le plan des pressions et des températures,
24:55 on a des diagrammes de bifurcation, on a étudié ça, je ne sais pas comment,
25:01 quand on fait des détections de fluide on voit ça,
25:04 que une substance peut avoir plusieurs états, et qu'elle peut passer d'un état à l'autre,
25:12 et ça se décrit par des diagrammes et des domaines qui s'interprètent relativement bien classiquement
25:23 avec ce qu'on appellerait les théories des singularités en thermodynamique.
25:28 L'idée de René Dobb était de prendre ce genre de modèle et d'en étendre le domaine d'application
25:37 bien bien au-delà des outils scientifiques classiquement utilisés il y a longtemps avant lui.
25:47 Par exemple, dans les bouquins de René Dobb et de ses suiveurs,
25:53 ici je n'ai pas non plus mis l'auteur, mais vous voyez qu'on utilise des diagrammes du même type
26:01 pour expliquer des choses qui relèvent aux questions humaines,
26:06 si c'est une théorie de l'innovation, de conformisme,
26:12 et comment est-ce que quelqu'un peut passer brutalement d'un stade conformiste à un stade innovateur.
26:24 Pour le coup, je ne voudrais pas trop passer de temps là-dessus,
26:29 mais ces objets sont un peu passés, sont par analogie peut-être intéressants,
26:37 mais qui est relativement limité dans ses applications concrètes,
26:43 et ça lui a été beaucoup reproché, et pour le coup, autant il a été célèbre dans les années 70-80,
26:49 assez rapidement, beaucoup critiqué justement,
26:53 parce qu'à cause du caractère trop général de toutes leurs interprétations,
26:59 elle n'est plus pas assez performante.
27:05 On a vu dans des publications, qui reprenaient cette interprétation géométrique,
27:13 dans énormément de contextes différents.
27:17 Ce qu'il faut retenir quand même dans ce genre de dessin, c'est qu'on garde cette idée de discret et de continu.
27:25 Vous voyez les trajectoires qui représentent des évolutions de comportement ici,
27:34 elles sont représentées comme des chemins sur une surface,
27:38 et donc le chemin est en général, la plupart du temps, un projet continu,
27:48 le monde sur cette surface, et puis soudainement vous allez sauter à une autre partie de la surface,
27:52 et ça correspond à traverser une sorte de frontière,
27:57 qui est définie par exemple de l'équilibre liquide-vapeur par des équations mathématiques.
28:03 Il y a vraiment cette idée d'un accident discret,
28:08 c'est-à-dire un accident où la catastrophe apparaît au milieu d'un chemin continu.
28:13 Plus facile à comprendre, les idées mathématiques.
28:22 Si on oublie ce contexte de polémique d'application à des sujets de sciences humaines ou de biologie,
28:30 qui n'est pas forcément une vie très profonde,
28:36 il y a quand même des idées très importantes qu'on doit reconnaître,
28:41 et qui sont présentes maintenant dans les mathématiques d'aujourd'hui.
28:45 C'est l'idée qu'un objet singulier, un objet qui a une singularité,
28:49 ainsi un point de reposement, comme on a comme modèle sur ce dessin,
28:52 c'est un objet qui doit être conçu dans une famille,
28:57 étudier un objet, au fur et à mesure qu'on le comprend,
29:02 il faut le replacer dans une famille d'objets analogues
29:07 qui sont des perturbations de l'objet singulier.
29:10 L'intégralité de l'objet singulier, ça veut dire qu'on n'est pas générique.
29:15 Ici, c'est une courbe verte.
29:17 Si vous la perturbez un petit peu,
29:19 vous allez donner par des équations,
29:21 vous pourrez la programmer avec votre imprimante 3D.
29:25 Si on la perturbe un petit peu, on obtient la courbe bleue d'un côté,
29:30 et si on pousse une autre perturbation,
29:32 de l'autre côté de la frontière,
29:35 matérialisée ici par la courbe verte,
29:39 on prend la courbe rouge.
29:41 La courbe rouge et la courbe bleue,
29:45 elles sont stars, elles sont génériques.
29:47 Si vous les perturbez un petit peu, elles se rassemblent à elles-mêmes.
29:51 Par contre, la courbe verte, elle, elle n'a pas cette propriété.
29:54 Elle est seule dans sa famille,
29:57 et accompagnée de ses sœurs bleues et rouges,
30:03 mais qui sont génériques.
30:06 La singularité se obtient ici comme un incident dans une famille.
30:12 On pourrait appeler un déploiement de la singularité.
30:16 On appelle générique des objets stars,
30:20 comme cette courbe bleue et cette courbe rouge,
30:23 et singulier, ces objets frontières, ces objets limites,
30:26 qui correspondent à des accidents.
30:29 Ça correspond aussi à la notion de bifurcation qu'on entend beaucoup.
30:36 Ça revient de nos jours aussi,
30:38 on a aussi débuté des actualités au point de tipping point,
30:41 au point de changement des équations du climat.
30:46 Est-ce qu'on n'a pas dépassé une valeur d'un paramètre,
30:49 ce qui fait que la dynamique du climat, de ce paramètre,
30:53 devient qualitativement différente de celle qui arrivait avant ?
30:58 C'est une question qui se pose aujourd'hui.
31:01 Le mot classique en mathématiques n'est pas catastrophique,
31:04 mais plutôt bifurcatif, dans ce contexte-là.
31:07 Cette courbe blanche est relativement connue,
31:14 je ne veux pas vous fasciner avec des équations,
31:16 je pourrai en parler un peu plus tard si vraiment vous voulez des détails plus mathématiques,
31:20 mais ça vous montre une idée...
31:25 J'aime juste dire que ce genre d'image,
31:31 c'est sa propresité de simulation numérique,
31:36 obtenue en guérant des modèles issus, par exemple,
31:41 de l'écologie, de la dynamique des populations.
31:44 Et lorsqu'on fait varier un paramètre,
31:48 le fait que, par exemple, tout à gauche de cette figure,
31:51 il y ait juste un petit segment,
31:54 qui ensuite se sépare en deux, puis encore en deux, puis encore en deux,
31:58 ça, ça correspond à des phénomènes relativement stables,
32:04 et puis, au bout d'un certain temps, apparaît une zone extrêmement complexe,
32:08 que je ne vais pas qualifier de chaotique,
32:11 même si le mot n'est pas forcément extrêmement pertinent.
32:15 Mais donc, cette idée de stabilité,
32:19 quand on étudie un phénomène physique,
32:22 elle est vraiment importante,
32:24 parce que finalement, les deux choses,
32:26 on peut vraiment parler de choses stables,
32:28 et de choses instables, elles sont émanescentes,
32:30 elles sont très fragiles, en tout cas,
32:32 et elles sont, en principe, pas observables.
32:35 Voilà.
32:37 Donc, j'ai intitulé cette slide "Antériorité ontologique du continu sur le disciplin",
32:46 en fait, ce phénomène des guillemets,
32:48 c'est vraiment des mots que René Tom a utilisés lui-même,
32:51 pour insister sur cette idée que,
32:55 le disciplin, pour lui, c'est un accident dans le continu,
32:59 et que, voilà, il donne...
33:03 Et pour lui, c'est vraiment une vulnérabilité importante,
33:07 pour comprendre même ce que c'est que la pratique scientifique.
33:09 On a des phénomènes qui forment ce qu'il appelle une "peintre continue",
33:14 et les mathématiser, c'est les faire entrer dans un moule distinct,
33:19 donc c'est vraiment les tordre,
33:23 et les scientifier outrageusement.
33:26 Donc, on en dirait que quelques-uns ont fait la "GP" de l'histoire.
33:32 Voilà.
33:35 Donc, je vais passer sur la seconde citation,
33:41 et je vais donner quelques indications sur le troisième paragraphe,
33:46 qui est sur cette slide,
33:47 donc il y a le mot "algebra" dont je n'ai pas encore parlé.
33:49 Donc l'algebra, c'est ce qui relève effectivement de ces structures distinctes,
33:53 en première approximation,
33:54 on commence à l'école, on appelle "algebra" l'étude des nombres entiers,
33:57 des polynomes, des règles de calcul, des équations formelles,
34:02 et dans l'esprit de Thorne, ça s'oppose à la géométrie.
34:09 Historiquement, l'algebra a été apparu, peut-être,
34:12 pour justement essayer de modéliser des décisions de la géométrie,
34:15 et résoudre de manière analytique des situations.
34:21 Ça a fallu clarifier, finalement, des phénomènes difficiles à appréhender
34:30 de manière comment visuelle et géométrique.
34:32 Donc, chez Thorne, il y a vraiment cette opposition.
34:37 Voilà, "le continu géométrique étant pur, instructuré",
34:40 c'est une notion mystique par excellence.
34:43 Je ne sais pas trop ce qu'il entendait par là,
34:45 mais malheureusement, chacun peut maintenant le sentir,
34:49 si il veut, mystique.
34:52 Mais l'algebra, effectivement, c'est cette attitude opératoire
34:55 qui permet vraiment de faire des vrais calculs précis,
34:59 d'être sûr qu'on y va bénéfique.
35:03 On a trouvé du formulaire, mais en faisant ça,
35:06 on perd une grande partie du matériau qu'on veut décrire.
35:12 Vous allez voir, je reviendrai là-dessus un peu plus tard.
35:15 Donc, il a cette très très belle phrase,
35:18 "Les topologues sont les enfants de la nuit",
35:21 donc les topologues, géomètres, etc.
35:23 "Les topologues sont les enfants de la nuit,
35:25 les algéristes, eux, manient le couteau d'un rigueur
35:28 en une parfaite clarté."
35:31 Je pense que ça résout très très bien la pensée de Brunel.
35:38 Alors, c'est aussi quelqu'un qui insistait
35:40 sur l'importance de l'analogie et du qualitatif.
35:44 Évidemment, si on interroge le commandement
35:47 de la mortelle sur ce que c'est que les maths,
35:49 on va entendre des réponses du genre
35:51 "Les maths, c'est du calcul, on résout des équations,
35:54 on est capable de faire des prédictions précises
35:59 en résoutant des nouvelles équations."
36:02 C'est vrai, une grande partie du travail
36:04 de la théorie de la physique existe.
36:06 On peut faire des calculs numériques,
36:08 faire des modèles, des choses comme ça.
36:11 Mais vous prenez Tom, il y a une version
36:16 de la modélisation primitive, disons,
36:20 qui a une grande importance,
36:22 c'est quand on fait juste des modèles qualitatifs,
36:25 sans volonté d'être précis,
36:29 et en usant et en abusant de l'analogie.
36:36 Ce que lui appelait la théorie des catastrophes,
36:42 pour lui, il se plaçait dans l'héritage d'Aristote.
36:46 Il faut aller lire l'Héritage d'Aristote
36:49 pour voir exactement en quoi il faut retrouver
36:52 chez Aristote ce que prétend en étoile
36:55 des idées humaines sur le continu et le distrait.
36:58 Je n'ai pas fait ce travail,
37:02 je n'ai pas lu les sources chez Aristote.
37:05 Il a en fait revendiqué cet héritage
37:09 à Aristote, il le sait très fortement.
37:12 Là, dans ce paragraphe très intéressant,
37:17 il sent en haut critiques que lui-même a reçues
37:19 sur cette théorie des catastrophes.
37:21 On l'a accusé de ne donner qu'au plus
37:24 des analogies et des métaphores.
37:26 Il a cette réponse merveilleuse.
37:29 Ces critiques sont en fait conformes
37:32 au dessin véritable de la théorie des catastrophes,
37:35 lequel est de classer tous les coups possibles
37:37 de situations analogues.
37:39 Donc de montrer un peu comme la France
37:42 que j'ai montré dans trois situations différentes tout à l'heure.
37:45 Pour Bonneton, c'était important de montrer
37:48 que qualitativement, il y avait
37:51 le même type de phénomène mathématique
37:53 qui se cache derrière des situations
37:56 très différentes.
37:58 Mais c'était évidemment purement analogique
38:00 et qualitatif, et non pas quantitatif.
38:06 Voilà. Autre point important
38:09 dans l'oeuvre de Bonneton,
38:11 c'est son intérêt pour la biologie.
38:13 Il s'est aussi intéressé à la linguistique,
38:15 mais il ne s'achetait pas vraiment
38:17 de son travail sur la question.
38:19 C'est quelqu'un qui s'est intéressé
38:23 de manière très très originale à la biologie.
38:26 Et selon moi, il a eu des intuitions
38:29 assez incroyables et impressionnantes
38:32 à ce sujet.
38:34 Tout d'abord, il a fait partie des gens
38:37 qui ont remis au jour une sorte de biologie
38:41 descriptive à l'ancienne,
38:44 celle de ce scientifique anglais
38:49 au Écossais, je deviais le partire Thompson,
38:52 qui, vous le voyez, avec cette image de poisson,
38:57 essaie de décrire les différents types de poisson
39:00 en appliquant des déformations géométriques,
39:02 on dirait des différents fusils de langage
39:05 mathématiquement moderne.
39:07 Donc là, on est en 1907,
39:09 au début du 20e siècle.
39:11 Vous voyez, c'est un biologiste à l'ancienne
39:16 qui ne cherche pas à rentrer dans le détail
39:20 de la biophysique, de la biochimie des cellules,
39:24 mais à décrire des phénomènes microscopiques.
39:27 Donc, quand Bonneton parle de cela
39:30 dans les années 1960 et 1970,
39:33 c'est au contraire le boom de la génétique,
39:36 de l'ADN, de la description,
39:38 de la réflexionniste du client.
39:40 Et il s'est mis en contrepoint,
39:43 cela très fortement, dès le début.
39:46 Et il a écrit...
39:52 Bonneton a écrit énormément de textes,
39:55 c'est très difficile de lire ce qu'il a écrit.
39:58 Mais là, j'ai trouvé un article de lui
40:03 dans un bouquin de philosophie, essentiellement.
40:10 Et son article s'appelle
40:16 "Artefacts et structures infragments".
40:19 Donc il s'est intéressé à essayer de définir
40:22 qu'est-ce qui pourrait caractériser
40:25 le vivant et le non-vivant,
40:27 ce qui serait l'artefact,
40:29 c'est à dire une création humaine
40:32 versus quelque chose d'humain, naturel.
40:36 Sur cette dernière question de Pam et Tom,
40:42 mais par contre sur la compréhension
40:44 au fond mental du vivant,
40:46 une fois de plus, on retrouve cette idée
40:49 que la membrane, c'est-à-dire le bord d'un domaine,
40:53 une surface, pour lui c'est la structure biologique fondamentale.
41:00 La chaîne ADN qui se trouve enfermée
41:03 dans un voyou ou dans une cellule,
41:09 ou dans une bactérie,
41:11 elle est enfermée dans cette membrane,
41:13 et selon lui, ça n'est qu'un, on aurait appelé ça,
41:17 un artefact ou une création,
41:19 un truc qui découle de quelque chose
41:23 de plus fondamental qu'est cette structure génétique.
41:26 La DNA étant,
41:30 si vous voyez cette longue molécule
41:33 qui devient comme une succession de lettres,
41:37 c'est quelque chose de typiquement discret.
41:39 Évidemment la géométrie de la molécule
41:41 elle-même est extrêmement importante,
41:43 on la décrit maintenant,
41:46 il disait ça à un moment où on pensait à l'ADN
41:50 comme une sorte de plan à partir duquel
41:53 étaient construits les organismes,
41:55 il y avait une vision assez linéaire
42:00 à partir de l'information côté de l'art discret
42:04 de cette molécule, on a envie de reconstruire un organisme,
42:08 et donc de manière assez précoce,
42:11 Tom a compris que cette vision était erronée.
42:14 Donc il y a maintenant le consensus scientifique.
42:19 Autre point important,
42:28 on va penser à ce que vous m'avez donné Tom,
42:31 le fait qu'agir, par exemple avec des algorithmes mathématiques,
42:36 faire des calculs, faire voler un avion,
42:39 c'est quelque chose d'assez merveilleux ce qu'on fait avec les maths.
42:42 Vous montez dans un avion sans trop d'angoisse,
42:44 il y a quand même l'automatisme, quelque chose comme ça.
42:47 Donc on peut agir, on peut prédire les mouvements
42:55 de manière assez précise, parfois,
42:59 dans ce contexte mécaniste apparemment,
43:02 mais c'est malheureusement assez fréquent
43:06 que l'on puisse comme ça prédire sans vraiment y prendre.
43:10 C'est typiquement l'émergence de l'intelligence artificielle
43:16 très récemment à grande échelle,
43:19 qui permet de reformuler encore de manière extrêmement
43:24 fascinante ces questions.
43:27 Donc pour Boneta, il y a vraiment cette distinction
43:30 entre comprendre, expliquer et juste prédire,
43:34 agir sur la matière.
43:37 Et il reprochait beaucoup à la science
43:40 d'être très superficielle au niveau de ses ambitions
43:45 de compréhension.
43:48 Donc il essayait de comprendre ces grands schémas généraux
43:53 de principe d'organisation du vivant
43:55 sans trop rentrer dans le détail.
43:58 Et il s'opposait en cela à des experts spécialistes
44:01 qui vont être extrêmement précis sur le fonctionnement
44:05 de telles molécules dans les noyaux classés.
44:09 Voilà, donc il a pléfié ces phrases dans cet article-là.
44:14 Donc l'immense majorité d'apprentis
44:19 de la production scientifique actuelle
44:21 n'est pas autre chose qu'une résolution de devinettes.
44:25 Ces devinettes étant en général d'un intérêt extraordinairement faible.
44:30 Donc il appelle ça des devinettes,
44:32 c'est quand les gens ne connaissent pas grand-chose
44:35 qu'on résout un peu par accident des questions,
44:40 par calcul, sans avoir d'interprétation profonde de ce qui se passe.
44:46 Alors il faut comprendre aussi que, vivant de l'Eton,
44:51 comme je l'ai dit au début, il était minoritaire
44:53 dans sa manière de penser les maths.
44:55 Il s'opposait à une majorité de mathématiciens très formalistes
45:00 associés au groupe Baki,
45:03 et qui ont quelque part transformé la manière d'enseigner les maths
45:07 pour la meilleure et pour le pire.
45:09 Je crois que quand j'étais à l'école primaire,
45:11 j'avais encore la queue de comète, disons,
45:14 de ces réformes dites des maths modernes,
45:18 où on apprenait des mathématiques très formalistes
45:21 dès l'école primaire.
45:23 Donc oui, Rogneton s'est opposé à cette manière de faire,
45:25 il appréhendait une vision, on va dire, plus traditionnelle.
45:30 Et donc il était assez méchant avec ses collègues
45:38 en expliquant que la théorie des ensembles,
45:40 les structures algériques abstraites,
45:43 il appelait ça le triomphe de l'artefact,
45:46 c'est-à-dire que ce sont des constructions intellectuelles,
45:49 certes utiles si on veut formaliser les maths,
45:53 mais pour lui ça représentait
45:56 une dégénérescence de la sensibilité mathématique.
46:02 Donc, sur lui, c'est quelque chose qui relève
46:07 de la partie géométrique de votre intellect,
46:12 et pas de cette partie calculatoire, algébrique,
46:16 algébotique qui relève plus des ordinateurs.
46:21 Alors voilà, pour conclure,
46:23 dans son livre pré-lire, on va expliquer qu'il y a cette fabuleuse carte
46:27 qui fait référence à une carte du XVIIe siècle,
46:33 je crois que ça s'appelle la carte du temps.
46:35 - Du temps, oui, la carte du temps.
46:37 - Du temps. - Du temps, c'est ça.
46:39 Et donc là, il classe un certain domaine,
46:43 disons de la culture, sur une carte avec deux axes.
46:47 L'axe horizontal, vrai et faux.
46:50 Faux à gauche, vrai à droite.
46:54 Axe vertical, signifiant en haut,
46:57 et signifiant en bas.
46:59 Et vous voyez, les mathématiques se trouvent à peu près au milieu.
47:02 Les sources humaines, un peu plus fausses que les maths,
47:06 mais très signifiantes.
47:09 La biologie, très vraie, mais peu signifiante,
47:13 parce qu'à cette époque-là, il pensait biologiquement
47:15 à une science de l'observation,
47:17 mais pas à grand-chose.
47:19 Et tout en haut, vous voyez, ce qui domine le tout,
47:22 c'est le pays du paradoxe, et juste à côté,
47:24 vous avez le maths, c'est la poésie.
47:26 Donc, il fait partie de ces scientifiques.
47:30 C'est pour ça que je pense qu'il est vraiment important
47:33 de se souvenir que cette science réaliste aussi
47:36 est une science modeste,
47:38 une science qui reconnaît ses limites,
47:41 une science qui a des conditions intellectuelles
47:44 plus dynamiques que celles des arts,
47:47 et qui n'est pas forcément bédiée
47:52 à juste fabriquer des objets
47:56 destinés à agir sur le monde.
47:59 C'est pas une science de l'ingénieur numique.
48:02 Voilà, c'est ce que je peux te dire de cette carte.
48:05 Elle est peu commentée dans le bouquin.
48:09 Et voilà, pour conclure,
48:12 le sceptateur Dali a consacré ses deux dernières oeuvres
48:16 aux adhérents de Ron et Tom.
48:19 Je sais que Ron et Tom ont été invités par Dali
48:23 dans un colloque scientifique organisé en Espagne.
48:27 Ils se sont rencontrés et ils ont discuté.
48:30 C'est du Dali très artif,
48:33 qui représente justement des singularités.
48:36 Vous voyez, c'est une petite surface dans ces courbes-là.
48:39 Donc c'est expliqué quelque part
48:44 dans les innombrables publications de Tom.
48:49 Il était non seulement passionné de poésie,
48:52 de littérature, de linguistique,
48:55 mais c'était quelqu'un d'extrêmement cultivé aussi
48:58 pour le monde des arts en général.
49:01 Pour terminer, je vais peut-être engager la conversation.
49:04 Je voudrais signaler que j'ai un collègue
49:07 à l'Anglesea, à Saint-Paul-de-Paris,
49:10 mais c'est pas si loin que je le disais,
49:13 qui est beaucoup mieux connu dans les thèmes
49:16 que ma mère, qui a écrit un petit article
49:19 qui s'appelle "Le vrai ou faux insignifiant"
49:22 qui contient un peu le même genre d'analyses.
49:25 Et puis, j'adore quoi faire que "but shine",
49:30 c'est qu'il limite le vrai, ce n'est pas le faux,
49:33 c'est l'insignifiant.
49:35 La science moderne est complètement déroulée
49:38 de résultats insignifiants,
49:40 de sur-publications, d'autres choses,
49:43 on voit la pensée dans une progression exponentielle
49:47 de communications scientifiques qui sont malgré tout fausses.
49:51 Et puis, une phrase qui a un sens un peu différent,
49:54 tout ce qui est rigoureux et insignifiant,
49:57 ça se referme bien à cette...
50:00 Enfin, je l'interprète de la manière suivante.
50:03 "Vous êtes obligés de formaliser, vous avez donc algébrisé le problème,
50:06 vous êtes obligés de dire des choses très vraies,
50:09 mais en même temps, vous avez perdu le fond de la chose."
50:12 Voilà, donc, ces citations sont discutées
50:15 dans cet article de la marge insignifiante de "Le français".
50:18 Et puis, il y a M. Thorpe,
50:21 qui a confilé des citations de Ron et Tom,
50:24 c'est un point de départ extrêmement pratique.
50:27 Vous entrez dans l'œuvre de Ron et Tom,
50:30 vous le trouverez facilement, librement sur Internet,
50:33 et je lui rends hommage parce que je me suis inspiré
50:36 pour trouver quelques-unes des citations que vous pouvez penser.
50:39 Voilà, je vais m'arrêter là.
50:42 Et je serai à partir de temps dans vos questions
50:45 si vous en avez besoin.
50:48 Si vous souhaitez, vous en avez besoin.
50:51 L'expérience pratique des maths, concrète, de la science,
50:54 peut être un avis qui confirme ou qui confirme les analyses de Ron et Tom.
50:57 Voilà, merci de votre attention.
51:00 (Applaudissements)
51:02 (Applaudissements)