Excelente y altamente recomendable documental sobre el fascinante mundo de los fractales. De una calidad de producción inigualable, explora gráficamente lo que son y cuál es su intrincada naturaleza tanto en la matemática como en el mundo que nos rodea, y son explicados tanto por su descubridor y popularizador Benoît Mandelbrot como por un montón de matemáticos y científicos que trabajan en el tema.Entre algunas de las aplicaciones más curiosas de los fractales que no conocía están las antenas fractales que son comunes en los teléfonos móviles de hoy en día. Es todo un ejemplo demoledor de cómo se puede llegar a una aplicación práctica de uso universal, casi imprescindible hoy en día, a partir de un concepto matemático que cuando nació fue calificado como algo entre irrelevante y mera curiosidad.
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AprendizajeTranscripción
00:00Puedes encontrarlos en la selva, dentro del campo de la investigación médica, en las películas,
00:10así como en el mundo de la comunicación inalámbrica.
00:14Finalmente se ha revelado uno de los mayores secretos en cuanto al diseño de la naturaleza.
00:20Pues claro, es una forma de aspecto extraño de la cual puede que nunca hayas oído hablar,
00:26pero se encuentra en todas partes, una forma irregular que se repite denominada fractal.
00:32Ocurre constantemente dentro de la biología.
00:36Son soluciones que la selección natural ha planteado una y otra vez.
00:41Los fractales se encuentran en nuestros pulmones, riñones y vasos sanguíneos.
00:46Flores, plantas, el sistema del tiempo, el ritmo del corazón, la verdadera esencia de la vida.
00:55Fue obra de un matemático inconformista descubrir cómo funcionaba.
00:59Yo no juego con fórmulas, juego con imágenes, y eso es lo que llevo haciendo toda la vida.
01:05Lo suyo fue un desafío audaz frente a siglos de viejas suposiciones
01:09acerca de las diferentes formas que adoptaba la naturaleza.
01:13Se quitaron el antifaz y la gente comenzó a ver formas que siempre habían estado ahí,
01:19pero que siempre habían sido invisibles.
01:26En 1978, los ingenieros de Boeing Aircraft en Seattle estaban diseñando un avión experimental.
01:34Cosas exóticas con dos alas, dos colas o dos fuselajes, cosas extrañas,
01:38porque quién sabe, podría funcionar.
01:41Un joven experto en informática llamado Loren Carpenter
01:45les estaba ayudando a visualizar la apariencia de los aviones en vuelo.
01:50Cogía sus datos y hacía fotos desde diferentes ángulos,
01:53pero quería ser capaz de poner una montaña detrás,
01:56porque en todas las fotos publicitarias de los Boeing aparecen montañas.
02:00Pero no había forma de hacerlas.
02:02Las montañas tienen millones y millones de pequeños triángulos, polígonos o como quieras llamarlos.
02:06Por su parte, 100 ya planteaban suficientes problemas,
02:09y más en aquella época en la que las máquinas eran tan lentas.
02:12Carpenter no quería hacer cualquier montaña.
02:15Quería crear un paisaje por el que los aviones pudieran volar.
02:19Pero no había manera de hacerlo con las técnicas de animación existentes.
02:23Cuando se empezaron a hacer películas,
02:26los animadores tenían que dibujar cada fotograma a mano.
02:29Miles de dibujos para hacer tan siquiera un dibujo animado.
02:37Pero eso fue antes de que Loren Carpenter descubriera la obra
02:41de un matemático poco conocido llamado Benoit Mandelbrot.
02:46En 1978 descubrí en una librería el libro de Benoit Mandelbrot,
02:50Los objetos fractales, forma, azar y dimensión,
02:53que hablaba de la geometría fractal en la naturaleza.
02:56Me lo llevé y lo leí dos veces, hasta la última palabra,
02:59incluso las notas a pie de página y las referencias.
03:02En su libro, Mandelbrot decía que muchas de las formas de la naturaleza
03:06podían ser descritas de forma matemática como fractales.
03:10Una palabra que él inventó para definir formas fragmentadas
03:13o aparentemente irregulares.
03:15Mandelbrot dijo que podemos crear un fractal
03:18cogiendo una forma de aspecto suave y fragmentándola una y otra vez.
03:24Carpenter decidió intentarlo con su ordenador.
03:28En tres días estaba produciendo imágenes de montañas
03:31en el ordenador del trabajo.
03:34El método es muy sencillo.
03:36Empiezas con un paisaje hecho a base de triángulos muy básicos y grandes.
03:40Y luego, cada triángulo lo divides en cuatro triángulos
03:43y luego lo vuelves a dividir y así una y otra vez.
03:46Repeticiones interminables,
03:48lo que los matemáticos denominan iteración.
03:51Es una de las claves de la geometría fractal.
03:57Las imágenes eran impresionantes, eran totalmente increíbles.
04:01Nadie había visto nunca nada igual.
04:03Abrí la puerta a un nuevo mundo de creación de imágenes.
04:09Llegó al ordenador y toda la comunidad gráfica se entusiasmó con los fractales
04:13porque de repente resultaban sencillos de hacer,
04:15de modo que todo el mundo empezó a hacerlos.
04:18Carpenter pronto dejó los Boeing para unirse a la película de Lucas,
04:23donde en lugar de crear montañas,
04:25inventó un planeta completamente nuevo para Star Trek II,
04:28la ira del Khan.
04:30Era la primera vez que se creaba una escena
04:32completamente por ordenador en una película.
04:40Esto fue posible gracias al nuevo campo de las matemáticas,
04:44la geometría fractal.
04:48Benoit Mandelbrot, cuya obra había inspirado esa innovación,
04:52era alguien que se enorgullecía por diferenciarse del resto.
04:57Veía cosas que nadie más sospechaba
04:59y cuando se las mostraba decían,
05:01claro, claro, pero en realidad nunca lo habían visto.
05:05Se puede ver en las nubes, en las montañas,
05:08incluso dentro del cuerpo humano.
05:13La clave de la geometría fractal
05:15y lo que todos eludían hasta que Mandelbrot dijo,
05:18esta es la forma de ver las cosas.
05:20Si contemplamos solo la superficie,
05:22vemos complejidad y no parece nada matemático.
05:25Mandelbrot propuso que pensáramos
05:27no en lo que veíamos,
05:29sino en cuál era el motivo que producía lo que estábamos viendo.
05:34Conlleva repeticiones interminables.
05:36Eso dio lugar a uno de los rasgos más característicos de un fractal,
05:40lo que los matemáticos denominan autosimilitud.
05:45La principal idea es que si lo acercas o lo alejas,
05:48el objeto siempre tiene la misma apariencia.
05:51Si miras algo a esta escala
05:53y escoges una pequeña parte y lo alejas,
05:57tiene la misma forma.
06:00La totalidad del fractal es igual que cualquiera de sus partes,
06:04que es igual a otro trozo más pequeño.
06:07La similitud del patrón no deja de sucederse.
06:14Uno de los ejemplos más característicos de la autosimilitud
06:17es su árbol.
06:19Si miramos cada uno de los nodos,
06:21los nodos en los que se ramifica este árbol,
06:24vemos que este patrón por el que se ramifica
06:26es muy similar en todo el árbol.
06:28A medida que avanzamos desde la base hasta la parte superior,
06:31vemos como hay ramas madre que se ramifican en ramas hijas.
06:35Si cogemos esta rama y este nodo
06:37y subimos a una rama de más arriba,
06:39lo que nos encontramos es que el patrón de ramificación es similar.
06:45Una vez más, este patrón de ramificación
06:48se repite a lo largo del árbol
06:51hasta la parte superior, donde se encuentran las hojas.
06:56Nos encontramos la autosimilitud en todas partes,
06:59desde el tallo del romanescu a la superficie lunar,
07:02hasta las arterias que transportan la sangre por nuestro cuerpo.
07:08Pero la fascinación de Mandelbrot con estas formas de aspecto irregular
07:12le llevó a ponerse completamente en contra
07:14de siglos de tradición matemática.
07:16Dentro del campo de la ciencia y de las matemáticas,
07:20la suavidad lo era todo.
07:22Yo lo que hice fue descubrir la rugosidad
07:26con el fin de que se investigara.
07:31Utilizamos las matemáticas para construir las pirámides,
07:35para levantar el Parthenón,
07:37empleamos las matemáticas para estudiar
07:39el movimiento regular de los planetas, etc.
07:42Nos acostumbramos al hecho de que ciertos patrones
07:45eran matemáticos, patrones arquitectónicos,
07:48principalmente patrones de estructuras hechas por humanos
07:51donde había líneas rectas, círculos y perfectas formas geométricas.
07:56La idea principal que subyace a las matemáticas clásicas
07:59es que todo es extremadamente regular.
08:02Es decir, todo se reduce a líneas rectas.
08:05Círculos, triángulos, superficies planas,
08:08pirámides, tetraedros, icosaedros, dodecaedros,
08:11bordes suaves.
08:13Las matemáticas clásicas están diseñadas
08:15para estudiar el mundo que hemos creado,
08:17las cosas que hemos construido
08:19por medio de las matemáticas clásicas.
08:23Los patrones de la naturaleza,
08:25los elementos que ya estaban ahí
08:27antes de que nosotros llegáramos al planeta,
08:29los árboles, las plantas, las nubes, el sistema del tiempo.
08:32Todo eso es ajeno a las matemáticas.
08:37Hasta los años 70,
08:39cuando Benoit Mandelbrot introdujo su nueva geometría.
08:44Mandelbrot llegó y dijo,
08:46oye, solo tenéis que mirar los patrones de la naturaleza
08:49de la forma correcta y podréis aplicar las matemáticas.
08:53Hay un orden bajo el aparente caos.
08:56Podéis crear fórmulas que describan las nubes,
08:59las flores y las plantas.
09:01Es solo que son otro tipo de fórmulas,
09:04lo cual nos conduce a un tipo diferente de geometría.
09:10La principal pregunta es,
09:12¿por qué hasta 1970 no escribió nadie un libro
09:16denominado la geometría fractal de la naturaleza?
09:19Si se encuentra en todas partes,
09:21¿cómo es que no se ha visto antes?
09:23La respuesta parece indicar que la gente ya lo había visto.
09:26La gente claramente reconocía
09:28esta cualidad repetitiva de la naturaleza.
09:32Personas que no conocían la geometría fractal
09:36repetitiva de la naturaleza.
09:39Personas como el gran artista japonés del siglo XIX,
09:42Katsushika Hokusai.
09:46Si miramos detenidamente,
09:48vemos una sombra sobre la nube del monte Fuji.
09:51La nube está hecha de nubes sobre nubes sobre nubes.
09:56Hokusai, la gran ola,
09:58donde encima de la gran ola se encuentran olas más pequeñas.
10:03Después de que en mi libro mencionara que Hokusai era fractal,
10:07un montón de gente me dijo,
10:09ahora entiendo a Hokusai.
10:12Hokusai dibujaba fractales.
10:16Todo el mundo piensa que los matemáticos
10:18son muy diferentes de los artistas.
10:20Yo he descubierto que el arte en realidad
10:22está muy relacionado con las matemáticas,
10:24solo que utilizan un lenguaje diferente.
10:27Por eso, para Mandelbrot, no todo son ecuaciones.
10:31Se trata de cómo explicamos este fenómeno visual.
10:39La fascinación de Mandelbrot
10:41con el aspecto visual de las matemáticas
10:43comenzó cuando era estudiante.
10:47Fue en enero del 44,
10:49cuando de repente me enamoré de las matemáticas.
10:52Y no de las matemáticas en general,
10:54sino en particular de la geometría en su forma más sensual.
10:59Esa parte de la geometría
11:01en la que se encuentran las matemáticas y la vista.
11:06El profesor estaba hablando de álgebra,
11:09pero yo comencé a ver en mi mente
11:11figuras geométricas que encajaban con esa álgebra.
11:16Y una vez que ves esas imágenes, el resultado era evidente.
11:19Descubrí algo en lo que no había reparado antes.
11:23Sabía cómo transformar en mi mente y de forma instantánea
11:27las fórmulas en imágenes.
11:31De joven, Mandelbrot desarrolló
11:33un fuerte sentido de independencia,
11:35en parte debido a que era judío
11:37y a su experiencia viviendo en Francia
11:39durante la ocupación nazi.
11:43Durante cuatro años consiguió eludir
11:45la amenaza constante de ser arrestado y deportado.
11:50No hay nada más duro, en cierto modo,
11:52que sobrevivir a una guerra.
11:55Y ya no como soldado, sino como un civil atormentado.
11:59Sabía cómo actuar
12:00y no me fiaba mucho de la sabiduría popular.
12:05Tras la guerra, Mandelbrot obtuvo el doctorado.
12:08Intentó dar clases en una universidad francesa,
12:11pero no parecía encajar.
12:14Me dijeron que tenía talento, pero que estaba confundido
12:17y que por ello hacía las cosas mal.
12:20Me sentía como un pez fuera del agua.
12:22De modo que dejé este trabajo en Francia
12:24y decidí arriesgar para entrar en IBM.
12:27Era el año 1958.
12:30La gran empresa estadounidense era pionera
12:32en aplicar una tecnología que pronto revolucionaría
12:35nuestro modo de vida, el ordenador.
12:41IBM buscaba pensadores creativos,
12:43inconformistas, incluso rebeldes.
12:47Gente como Benoit Mandelbrot.
12:50De hecho, se habían ganado la fama
12:52en el mercado de bichos raros.
12:57Nunca tuvimos la más mínima sensación de haber destacado.
13:03Los compañeros de Mandelbrot le comentaron
13:05al joven informático un problema que preocupaba mucho a la empresa.
13:09Los ingenieros de IBM estaban transmitiendo información
13:12de los ordenadores a través de los cables del teléfono,
13:15pero en ocasiones la información no llegaba.
13:18Se dieron cuenta de que, de vez en cuando,
13:22los cables hacían demasiado ruido.
13:25Se producían muchos errores.
13:27Era una situación complicada.
13:32Mandelbrot trazó la información del ruido
13:34y lo que vio le sorprendió.
13:37Sin tener en cuenta la escala de tiempo,
13:39el gráfico resultaba idéntico.
13:41Un día, una hora, un segundo...
13:44daba igual.
13:48Era el mismo.
13:51Resultó ser una autosimilitud real.
13:54Mandelbrot estaba impresionado.
13:56El extraño patrón le recordaba algo
13:58que le había intrigado de joven.
14:02Un misterio matemático que databa de hacía prácticamente 100 años.
14:07El misterio de los monstruos.
14:11En realidad, la historia comienza a finales del siglo XIX.
14:15Los matemáticos habían puesto por escrito
14:17una descripción formal de cómo debía ser una curva.
14:21Pero dentro de esa descripción había más cosas,
14:23elementos que satisfacían la definición formal
14:25de lo que era una curva,
14:27pero que eran tan raros
14:29que ni siquiera podían dibujarlos o pensar en dibujarlos.
14:32Eran vistos como monstruos o cosas más allá de lo real.
14:36No eran líneas, ni siquiera nada parecido.
14:39No eran círculos, era algo muy extraño.
14:42El matemático alemán Georg Cantor
14:44creó el primero de estos monstruos en 1883.
14:49Cogió una línea recta y dijo,
14:51voy a dividir esta línea en tres partes.
14:54Elimino el tercio interior,
14:56por lo que solo me quedan dos líneas en cada extremo.
14:58Luego cojo esas dos líneas,
15:00elimino el tercio interior y lo vuelvo a hacer,
15:02y así sucesivamente.
15:05Mucha gente podría pensar,
15:07bueno, si voy eliminando elementos,
15:09al final no me quedará nada,
15:11pero este no es el caso.
15:13No queda solo un punto ni dos.
15:15Quedan infinidad de puntos.
15:19Si acercamos el conjunto de Cantor,
15:21el patrón sigue siendo el mismo.
15:23Se parecía mucho a los patrones de ruido
15:25que Mandelbrot había visto en IBM.
15:29Otra forma extraña fue presentada
15:31por el matemático sueco Helge von Koch.
15:36Koch dijo, empiezas con un triángulo equilátero,
15:39una de las figuras geométricas clásicas euclidianas,
15:42y en cada lado coges una parte
15:44y lo sustituyes por dos partes
15:46que son más grandes que la parte original.
15:48En cada una de ellas sustituyes dos partes
15:50que son ahora más grandes que la original.
15:52Una y otra vez.
15:53Obtienes la misma forma,
15:55pero ahora cada línea tiene un pequeño triángulo.
15:57Y lo vuelvo a romper una vez más y otra vez más.
15:59Cada vez que lo rompo, la línea se hace más larga.
16:01Cada iteración, cada ciclo,
16:03tiene otro pequeño triángulo.
16:07Imagina iterar ese proceso
16:09de añadir pequeñas partes muchísimas veces.
16:12Al final acabas con algo infinitamente largo.
16:18La curva de Koch es una paradoja.
16:21A la vista, la curva parece finita.
16:24Pero matemáticamente resulta infinita,
16:27lo que supone que no se puede medir.
16:30En aquella época se denominó curva patológica,
16:33ya que carecía de sentido
16:35según la forma de pensar de la gente
16:37acerca de las medidas, la geometría euclidiana, etc.
16:40Pero la curva de Koch resultó ser crucial
16:42de cara a un problema persistente de medida,
16:45la longitud de una costa.
16:47En 1940, el científico británico Louis Richardson
16:51había observado que puede haber mucha variación
16:54entre las diferentes medidas de una costa.
16:56Depende de lo larga que sea tu regla
16:58y de la paciencia que tengas.
17:00Si mides la costa de Gran Bretaña con una regla de 2 km,
17:03dará como resultado tantas reglas.
17:05Si lo medimos con una regla de 30 cm,
17:07resulta que es más larga.
17:09Cuanto más pequeña sea la regla,
17:11obtendremos un número mayor.
17:13Porque siempre puedes encontrar más entrantes.
17:16Mandelbrot descubrió que cuanto más finos sean
17:19los entrantes de la curva de Koch, mejor,
17:22ya que era precisamente lo que se necesitaba
17:24para modelar las costas.
17:26Escribió un artículo muy famoso en la revista Science
17:29denominado ¿Cuánto mide la costa de Gran Bretaña?
17:32Según Mandelbrot, la costa, en términos geométricos,
17:35es fractal.
17:37Y aunque sabía que no se podía medir la longitud,
17:40sospechó que podía medir algo más, su rugosidad.
17:44Para poder hacerlo necesitaba replantearse
17:47uno de los conceptos más básicos de las matemáticas,
17:50la dimensión.
17:51En la geometría convencional,
17:53cuando pensamos en una dimensión, es una línea recta.
17:56Dos dimensiones sería el área de la superficie de una caja.
17:59Y tres dimensiones sería un cubo.
18:02Pero ¿podría haber algo que estuviera a caballo entre las dos?
18:07Mandelbrot dijo que sí, los fractales.
18:12Y a mayor rugosidad, mayor es su dimensión fractal.
18:17Hay muchos términos técnicos como dimensión fractal,
18:20autosimilitud,
18:22pero esos son solo la base de las propias matemáticas.
18:25Lo que hace la geometría fractal es darnos una forma
18:28de contemplar el mundo en el que vivimos,
18:30y en especial, el mundo de los seres vivos,
18:33de una forma extremadamente precisa.
18:41La innovadora forma de pensar de Mandelbrot
18:44fue gracias al entusiasmo que mostraba ante las nuevas tecnologías.
18:48Los ordenadores facilitaron a Mandelbrot hacer iteraciones,
18:51los ciclos interminables y repetitivos de cálculo
18:54que exigían los monstruos matemáticos.
18:58Los ordenadores eran totalmente imprescindibles.
19:01De lo contrario, habría supuesto muchísimo esfuerzo.
19:05Mandelbrot decidió dirigir la atención hacia otro de los monstruos.
19:09Un problema que planteó un joven matemático francés
19:12llamado Gaston Juliat durante la Primera Guerra Mundial.
19:18Gaston intentaba averiguar qué ocurría
19:21cuando coges una simple ecuación
19:24y la iteras mediante un bucle de retroalimentación.
19:27Eso significa que cogemos un número,
19:29lo introducimos en la fórmula y sacas otro número.
19:32Coges ese número de vuelta al principio
19:34y lo introduces en la misma fórmula.
19:36Sacas otro número y lo iteras, y así una y otra vez.
19:39La pregunta es, ¿qué pasa cuando se itera muchas veces?
19:43La serie de números que se obtienen se denomina conjunto.
19:46El conjunto de Juliat.
19:48Pero haciéndolo a mano, no había forma de saber
19:51cómo quedaba todo el conjunto.
19:53Se llevaron a cabo intentos para dibujarlo a mano
19:56mediante la aritmética, poniendo un punto en un papel cuadriculado.
19:59Había que retroalimentarlo cientos, miles, millones de veces.
20:03El desarrollo de este nuevo tipo de matemáticas
20:06tendría que esperar hasta que se inventaran ordenadores más rápidos.
20:10En IBM, Mandelbrot hizo algo que Juliat nunca pudo hacer.
20:15Utilizar un ordenador para realizar las ecuaciones millones de veces.
20:21A continuación, transformó los números del conjunto de Juliat
20:24en puntos en un gráfico.
20:28Mi primer paso fue dibujar mecánicamente
20:31un gran número de conjuntos de Juliat.
20:33No solo un dibujo, sino cientos de ellos.
20:37Esas imágenes hicieron que Mandelbrot llevara a cabo un gran avance.
20:41En 1980, creó su propia ecuación,
20:44una que combinaba todo el conjunto de Juliat en una sola imagen.
20:49Cuando Mandelbrot iteró su ecuación,
20:51consiguió su propio conjunto de números.
20:54Dibujados en el ordenador, eran como una especie de mapa de carreteras
20:58de todo el conjunto de Juliat.
21:00Pronto se convirtió en el emblema de la geometría fractal,
21:03el conjunto de Mandelbrot.
21:06Se cruzan en determinadas zonas y tiene una especie de, ya sabes...
21:10Y tiene pequeñas espirales que lo conforman.
21:12Es una cosa negra parecida a un escarabajo...
21:14Que se arrastra por el suelo.
21:15Caballitos de mar.
21:16Dragones.
21:17De hecho, algo parecido a mi pelo.
21:23Mediante esta misteriosa imagen,
21:25Mandelbrot estaba planteando un desafío audaz
21:28a ideas que venían de largo,
21:30acerca de los límites de las matemáticas.
21:32Se quitaron el antifaz y la gente comenzó a ver formas
21:35que siempre habían estado ahí, pero que siempre habían sido invisibles.
21:42El conjunto de Mandelbrot es un gran ejemplo
21:45de lo que se puede hacer en la geometría fractal.
21:48Al igual que el círculo,
21:49era el arquetípico ejemplo de la geometría clásica.
21:53Si lo acercas, lo vuelves a ver.
21:55De forma que hay autosimilitud.
21:57Como veis, si lo acercamos muchas veces,
22:00de repente te da la sensación de que estás en el mismo sitio,
22:03pero en realidad no es así.
22:05Es solo que en esta parte de aquí
22:07tiene la misma estructura que desde donde partimos.
22:10Y la igualdad se puede entender.
22:13Las imágenes cautivadoras de Mandelbrot
22:15impulsaron una moda pasajera en el mundo de la cultura popular.
22:19De repente, esto parecía un incendio forestal.
22:22Todo el mundo quería tenerlo.
22:28En el siglo XXI,
22:29la gente empezó a pensar que el incendio
22:32era un incendio natural,
22:33y que el incendio era un incendio natural.
22:35Y que el incendio era un incendio natural.
22:37Y que el incendio era un incendio natural.
22:39Todo el mundo quería tenerlo.
22:51Aunque estaba sucediendo algo grande,
22:53esto fue un hecho cultural de grandes dimensiones.
23:01A finales de los 70,
23:02Jane Barnes había impulsado
23:04un negocio de diseño de ropa masculina.
23:07Cuando empecé con mi negocio en el 76,
23:10yo hacía las telas a la vieja usanza,
23:12sobre papel cuadriculado
23:14y tejiéndolas sobre un pequeño telar.
23:17Pero luego descubrió los fractales
23:19y se dio cuenta de que las reglas simples que los formaban
23:22podrían utilizarse para crear complicados diseños de ropa.
23:26Pensé que era increíble.
23:27Mediante este concepto tan simple pensé,
23:30yo puedo crear diseños con eso.
23:32Pero en los 80 no sabía muy bien
23:34cómo diseñar un fractal porque no había software.
23:38De modo que Barnes recibió ayuda de dos personas
23:40que sabían mucho acerca de matemáticas y de ordenadores,
23:43Bill Jones y Dana Cartwright.
23:46Dejé que Dana y Bill me crearan un software.
23:48Me dijeron, tu trabajo es muy matemático.
23:51Y yo les dije, ¿sí?
23:53Es la asignatura que peor se me daba en el colegio.
23:56Teníamos a un físico, a un matemático
23:58y a una diseñadora textil.
24:00¿Teníamos tanto que aprender los unos de los otros?
24:03Yo no sabía lo que era ni una urdimbre ni una trama.
24:06Por su parte, Jane, su habilidad con los números
24:09era bastante limitada, dicho de forma educada.
24:12¿Todos los parámetros están aquí?
24:15Había una forma de poder comunicarnos.
24:17De alguna manera nos entenderíamos y de hecho sucedió muy pronto.
24:21La prensa de moda en general pensó,
24:23Jane se ha vuelto loca.
24:25Empezaron a llamarme la atarada de la moda,
24:27pero no pasaba nada.
24:29A mí no me afectaba porque estaba aprendiendo mucho.
24:31Era divertido y a la vez inspirador.
24:36Conseguí hacer cosas que resultaba imposible hacerlas a mano.
24:42Hay veces que pienso en cosas y digo,
24:44acabo de ver cómo la luz atraviesa la mosquitera.
24:48Mira el patrón de moiré que está dibujando en el suelo.
24:52¿Puedo dibujarlo?
24:55De ninguna manera, pero puedo describírselo a mi matemático.
25:00Esto me recuerda,
25:02él me envía el generador para que lo pruebe
25:05y yo me siento ante el ordenador y digo,
25:08a ver qué ha estado haciendo.
25:11Tengo parámetros que puedo manejar.
25:14Los pulso y digo, vaya.
25:18No es para nada lo que me imaginaba,
25:21pero es genial.
25:30El mismo tipo de principios de diseño de fractales
25:34ha transformado completamente la magia de los efectos especiales.
25:40Este es un momento crucial en Star Wars Episodio III,
25:44donde nuestros dos héroes se encuentran
25:47en uno de los extremos de este brazo mecánico gigante.
25:50Mientras tanto, la lava salpica el brazo.
25:53Mi punto de partida aquí es coger el modelo en tres dimensiones
25:57y coger un chorro que expulse lava.
26:02Esto parece bastante aburrido.
26:05Está haciéndolo adecuado, pero el movimiento carece de interés visual.
26:09Echemos un vistazo a lo que sucede cuando aplicamos la espiral fractal.
26:14Se convierte en fractal si cogemos la misma espiral,
26:18la encogemos y la volvemos a aplicar.
26:21La volvemos a coger, la encogemos y la aplicamos de nuevo.
26:25La encogemos y la volvemos a aplicar.
26:28Y a partir de esto solo se trata de aplicar más y más capas.
26:33He empleado la misma técnica aquí para crear estos ríos de lava adicionales.
26:37Y también lo he hecho aquí para conseguir el color rojo de las ascuas.
26:41Luego cogemos todas esas capas y las añadimos para conseguir la imagen final,
26:45la lava principal en primer plano,
26:48la lava adicional al fondo,
26:50ascuas, chispas, vapor, humo.
27:03Diseñadores y artistas de todo el mundo
27:06aprueban el potencial visual de los fractales.
27:09Pero cuando se publicó por primera vez el conjunto de Mandelbrot,
27:13la mayoría de los matemáticos reaccionaron con desprecio.
27:17En el Mathematical Intelligencer,
27:20una revista de chismorreo para matemáticos profesionales
27:23no dejaban de sucederse artículos diciendo que él no era un matemático,
27:27que era un mal matemático, que eso no eran matemáticas
27:30y que la geometría fractal no servía para nada.
27:33La vista había sido desterrada de la ciencia.
27:36Había sido excomulgada.
27:39Sus compañeros, y en especial sus amigos matemáticos,
27:43a los cuales él respetaba,
27:46le dieron la espalda.
27:49Porque te acostumbras a un mundo que has creado y en el que vives,
27:53y los matemáticos se han acostumbrado a ese mundo de suaves curvas
27:56en el que pueden hacer cosas.
27:59Estaban aferrados al viejo paradigma
28:02cuando Mandelbrot y otros pocos
28:05estaban muy por delante abogando por un nuevo paradigma.
28:09Me solía llamar por teléfono de madrugada
28:12porque estaba molesto.
28:15Solíamos hablar.
28:18Mandelbrot me decía,
28:21esta es una rama de la geometría igual que la de Euclides.
28:24Y eso les ofendía. Decían,
28:27no, tan solo es un artefacto de tu estúpido ordenador.
28:32Sé que existe el rumor de que los fractales
28:35son imágenes bonitas pero que no sirven para nada.
28:38Bueno, es un rumor totalmente ridículo.
28:41Mandelbrot respondió a sus críticos con su nuevo libro,
28:44La geometría fractal de la naturaleza.
28:47Estaba repleto de ejemplos
28:50de cómo sus ideas podían ser aplicadas a la ciencia.
28:53Mandelbrot argumentaba que por medio de los fractales
28:56podía medir con precisión formas naturales
28:59y realizar cálculos que podrían aplicarse
29:02ante todo tipo de formaciones,
29:05desde los patrones de canalización de los ríos
29:08hasta la construcción de la tierra.
29:11De modo que este dominio creciente de sistemas vivos,
29:14el cual muchos otros matemáticos y yo siempre habíamos visto
29:17como bastante lejos de los límites de las matemáticas
29:20y, en cierto modo, lejos de la geometría,
29:23de repente pasó a un primer plano.
29:26El libro de Mandelbrot fue lo que nos convenció
29:29de que no era solo una obra de arte.
29:32Era una nueva ciencia en ciernes.
29:35Era una forma completamente novedosa de ver el mundo
29:38de las matemáticas y, por tanto,
29:41entenderlo con mayor profundidad que antes.
29:44Como persona que lleva trabajando con fractales 20 años,
29:47no te voy a decir que los fractales estén de moda.
29:50Te voy a contar que los fractales son útiles
29:53y por eso me importan.
29:56En los años 90, un radioastrónomo llamado Nathan Cohen
29:59empleó las matemáticas fractales
30:02para realizar un gran avance tecnológico
30:05dentro de las comunicaciones electrónicas.
30:08Era un operador radioaficionado,
30:11pero su casero tenía una norma en contra
30:14de la instalación de antenas en el edificio.
30:17Estaba en una conferencia sobre astronomía en Hungría
30:20y el doctor Mandelbrot estaba dando una charla
30:23sobre la gran escala de la estructura del universo
30:26y decía que utilizar fractales es una buena forma
30:29de entender ese tipo de estructura,
30:32lo cual enloqueció a todo el grupo de astrónomos.
30:35Mostró diferentes fractales a los que miré y pensé.
30:38¿Puedo hacer una antena con esa forma?
30:41Me pregunto qué pasaría.
30:44Uno de los primeros diseños que probó
30:47estaba inspirado en uno de los monstruos del siglo XIX,
30:50el copo de nieve de Helge von Koch.
30:53Acordándome de la conferencia, dije,
30:56bueno, tengo un trozo de alambre, ¿qué pasa si lo doblo?
30:59Tras doblarlo, lo enganché al cable
31:02y a mi radio de aficionado
31:05y me quedé bastante sorprendido
31:08y descubrí que, para mi sorpresa,
31:11podía ser la antena mucho más pequeña
31:14si usaba el diseño fractal.
31:17Fue una forma interesante de escabullirme del casero.
31:20Los experimentos de Cohen
31:23pronto le llevaron a otro descubrimiento.
31:26Utilizando el diseño fractal
31:29no solo conseguía antenas más pequeñas,
31:32sino que le permitía recibir un rango mayor de frecuencias.
31:35Usando fractales de forma experimental
31:38con un ancho de banda amplio,
31:41lo que me llevó a preguntarme, ¿por qué sucede esto?
31:44¿Qué tiene la naturaleza que te pide que utilices los fractales
31:47para llegar hasta aquí?
31:50El resultado de este trabajo era un teorema matemático
31:53que demostraba que si quieres conseguir que algo funcione
31:56como una antena sobre un rango muy amplio de frecuencias,
31:59se requiere autosimilitud.
32:02Tiene que tener una forma fractal para que funcione.
32:05Y esa es la solución exacta.
32:08Se obtuvo matemáticamente.
32:11Fuimos capaces de demostrar que era la única técnica
32:14que se podía emplear para llegar hasta aquí.
32:17Cohen llevó a cabo este descubrimiento en una época
32:20en la que las compañías de teléfonos móviles
32:23se enfrentaban a un problema.
32:26Estaban ofreciendo los últimos adelantos a sus clientes,
32:29Bluetooth, walkie-talkie y Wi-Fi,
32:32pero cada uno de ellos actúa con una frecuencia diferente.
32:35Tienes que ser capaz de utilizar todas esas frecuencias
32:38al mismo tiempo.
32:41El resultado podría ser que el teléfono acabe pareciéndose
32:44a un puerco spin, pero la mayoría de la gente
32:47no quiere llevar un puerco spin.
32:50Hoy en día las antenas fractales se utilizan en decenas
32:53de millones de teléfonos móviles, así como en otros dispositivos
32:56con comunicaciones inalámbricas de todo el mundo.
32:59En los próximos 10, 15 o 20 años vamos a tener que usar fractales
33:02ya que es la única manera de conseguir costes más bajos
33:05y menor tamaño para todas las complejas necesidades
33:08de los teléfonos móviles.
33:11Una vez que te das cuenta de que un astuto ingeniero
33:14usaría fractales en muchísimos contextos,
33:17comprenderás mejor por qué la naturaleza,
33:20que es más sabia, lo emplea de tantas formas.
33:23Ocurre constantemente dentro de la biología.
33:26Son soluciones a las que la selección natural
33:29ha llegado una y otra vez.
33:32Un claro ejemplo, los ritmos del corazón.
33:34Algo que un cardiólogo de Boston, Ari Goldberger,
33:37llevaba estudiando toda su vida profesional.
33:40La noción de que el cuerpo humano y el universo
33:43son una máquina se remonta a la época de Newton.
33:46Así que de algún modo somos máquinas, mecanismos,
33:49el latido del corazón es este cronómetro.
33:52Al parecer Galileo usaba su pulso para cronometrar
33:55el balanceo del movimiento pendular.
33:58De forma que todo eso encaja con la idea
34:01de que el corazón es una máquina.
34:04Que el latido normal del corazón sea como un metrónomo.
34:07Pero cuando Goldberger y sus compañeros
34:10analizaron los datos de cientos de personas,
34:13se dieron cuenta de que la vieja teoría era errónea.
34:16Esto es lo que utilizo para mostrar la serie de latidos
34:19de un sujeto sano. Como podéis observar,
34:22el latido del corazón no es constante.
34:25Fluctúa y de hecho fluctúa mucho.
34:28En este caso, fluctúa entre 60 y 120 latidos por minuto.
34:31Los patrones le resultaban familiares a Goldberger,
34:34quien al parecer había leído el libro de Benoit Mandelbrot.
34:37Cuando trazas los intervalos entre los latidos,
34:40lo que vemos es muy parecido
34:43a los bordes rugosos de la cordillera
34:46que había en el libro de Mandelbrot.
34:49Las ampliamos, las extendemos
34:52y vemos que hay más de estas fluctuaciones
34:55sobre fluctuaciones.
34:57El latido de un corazón sano
35:00resulta que posee una arquitectura fractal.
35:03La gente dice que esto no es cardiología,
35:06pero yo animo a que se hagan cardiólogos
35:09para poder comprobarlo. Da la casualidad
35:12de que sí es cardiología.
35:15Goldberger ha descubierto que el latido de un corazón sano
35:18tiene un patrón fractal característico,
35:21un rasgo que quizá algún día pueda ayudar a los cardiólogos
35:24a detectar antes los problemas cardíacos.
35:27Alberto, mantén los ojos abiertos.
35:30Nos disponemos a proyectar las imágenes.
35:33En la Universidad de Oregón, Richard Taylor
35:36ha encontrado la forma de emplear fractales
35:39para revelar los secretos de otra parte del cuerpo,
35:42el ojo.
35:45Lo que queremos hacer es ver lo que hace el ojo
35:48para permitirnos absorber tanta información visual.
35:51Eso es lo que nos condujo a la trayectoria del ojo.
35:54Bajo el monitor hay una cámara infrarroja
35:57que, de hecho, monitoriza hacia dónde mira el ojo.
36:00Asimismo, guarda esa información.
36:03De forma que lo que obtenemos es la trayectoria
36:06de hacia dónde ha estado mirando el ojo.
36:09Mira qué interesante. El ojo se ha fijado en este patrón.
36:12El ordenador hará un gráfico
36:15donde habrá diferentes estructuras pequeñas.
36:18Es un patrón que, si lo acercamos,
36:21si le decimos al ordenador que lo amplíe,
36:24veremos la dimensión fractal.
36:27La prueba demuestra que el ojo
36:30no siempre mira las cosas de forma suave y ordenada.
36:33Si entendiéramos mejor cómo el ojo recibe información,
36:36podríamos hacer un gran trabajo
36:39a la hora de diseñar las cosas que necesitamos ver.
36:42Un semáforo. Mirar un semáforo.
36:45Hay tráfico, peatones.
36:48Tus ojos miran a su alrededor
36:51para intentar captar toda esa información.
36:54La gente diseña las cabinas de los mandos de los aviones
36:57en hileras de diales y cosas así.
37:00Si tu ojo se mueve rápidamente basándose en la geometría fractal,
37:03quizá esa no sea la mejor forma.
37:06A lo mejor no quieres esas cosas en una hilera simple.
37:09Intentamos buscar la forma natural
37:12en la que el ojo intenta captar la información.
37:15¿Va a ser similar a muchos otros procedimientos subconscientes?
37:19El movimiento corporal.
37:22Cuando mantienes el equilibrio, ¿qué haces?
37:24Es algo subconsciente que funciona.
37:27Coordinas diferentes balanceos, grandes y pequeños.
37:31¿Podrían todos estos estar conectados
37:34para conseguir hacer un patrón fractal?
37:38Cada vez más procesos fisiológicos
37:41han demostrado ser fractales.
37:45No todos los científicos están convencidos
37:48del potencial de la geometría fractal
37:51para desarrollar nuevos conocimientos.
37:54Hay poco por avanzar en materia de teorías matemáticas.
37:57Pero en Toronto, el biofísico Peter Burns y sus compañeros
38:01ven los fractales como una herramienta práctica,
38:04una forma de desarrollar modelos matemáticos
38:07que pueden ayudar a diagnosticar casos de cáncer más prematuramente.
38:11Detectar tumores muy pequeños es uno de los grandes desafíos
38:14dentro de la representación óptica.
38:17Burns reconoce que una señal temprana del cáncer
38:20es particularmente difícil de ver.
38:22Una red de pequeños vasos sanguíneos
38:25que se forman junto al tumor.
38:28La representación óptica convencional, como los ultrasonidos,
38:31no son lo suficientemente poderosos para mostrarlos.
38:34Necesitamos ser capaces de ver estructuras
38:37que son tan solo unas cuantas décimas
38:40en la millonésima a lo largo de un metro.
38:43Cuando se trata de un paciente vivo,
38:46no contamos con las herramientas
38:49para poder ver esos diminutos vasos sanguíneos.
38:52¿De qué forma, se pregunta Burns,
38:55de que las imágenes del flujo de la sangre
38:58puedan revelar la estructura oculta de los vasos sanguíneos?
39:01Para descubrirlo, Burns y sus compañeros
39:04utilizan la geometría fractal para realizar un modelo matemático.
39:07Si posees una forma matemática para analizar una estructura,
39:10puedes crear un modelo.
39:13Lo que hacen los fractales es que te proporcionan
39:16unas pautas simples mediante las cuales puedes crear modelos.
39:19Y si cambiamos algunos de los parámetros del modelo,
39:22podemos ver el flujo de la sangre en un riñón.
39:25Primero a través de vasos sanguíneos normales
39:28y luego mediante vasos que suministran un tumor cancerígeno.
39:31Burns descubrió que ambos tipos de estructuras
39:34tenían dimensiones fractales muy diferentes.
39:37En lugar de bifurcarse de forma ordenada
39:40como si fuera un bonito olmo,
39:43la basculatura cancerosa resulta caótica,
39:46enmarañada, desorganizada,
39:49asemejándose más al muérdago.
39:52El flujo de los bañados vasos es muy distinto
39:55al flujo a través de los vasos normales.
39:58Una diferencia que quizá los médicos pueden algún día detectar con ultrasonidos.
40:01Siempre hemos pensado que teníamos que obtener
40:04mejores imágenes gráficas, cada vez más precisas,
40:07más microscópicas en la resolución,
40:10para descubrir la información acerca de la estructura que tiene.
40:13Lo que resulta emocionante
40:16es que nos proporciona información microscópica
40:19sin tener de hecho que mirar a través del microscopio.
40:22Ves cómo sube a medida que avanza.
40:25Pensamos que ese enfoque fractal puede resultar útil
40:28a la hora de distinguir lesiones benignas de las malignas
40:31de una forma que hasta ahora no había sido posible.
40:34Puede que se tarden años antes de que los fractales
40:37puedan ayudar a los médicos a predecir casos de cáncer.
40:40Pero de momento ya están ofreciendo pistas
40:43a uno de los mayores misterios de la biología.
40:46¿Por qué los animales grandes emplean la energía
40:49de forma más eficaz que los animales pequeños?
40:52Lo explican a los biólogos James Brown, Brian Enkis
40:55y al físico Jeffrey West.
40:58Y por el contrario habría menos en esta zona.
41:01Hay una extraordinaria economía de escala
41:04cuando incrementas el tamaño.
41:07Por ejemplo, un elefante pesa 200.000 veces más que un ratón.
41:10Sin embargo, sólo utiliza 10.000 veces más energía
41:13en forma de las calorías que consume.
41:17Cuanto más grande eres,
41:19necesitas menos energía por gramo de tejido
41:22para estar vivo.
41:25Es un dato increíble.
41:28Esto de aquí indica...
41:31Y lo que resulta más increíble es el hecho
41:34de que esta relación entre la masa y la energía
41:37empleada por cualquier ser vivo
41:40esté determinada por una mera fórmula matemática.
41:43Por lo que sabemos, esa ley es universal
41:46o casi universal en los seres vivos.
41:49Hasta las ballenas
41:52o las secuoyas.
41:56Pero a pesar de que esta ley se descubriera en 1930,
41:59nadie ha sido capaz de explicarla.
42:02Pensábamos que probablemente tuviera algo que ver
42:05con cómo están distribuidos los recursos
42:08en el interior del cuerpo de los organismos
42:11en función de cómo varían en tamaño.
42:14Dimos un gran salto
42:16y, de cierto modo,
42:19está sujeta a estas redes subyacentes
42:22que transportan oxígeno,
42:25recursos,
42:28metabolitos que alimentan a las células.
42:31El sistema circulatorio, el sistema respiratorio,
42:34los sistemas renal y neural.
42:37Resulta evidente que los fractales saltan a la vista.
42:40Si todas estas redes biológicas son fractales,
42:43eso significa que obedecen
42:46a las técnicas matemáticas,
42:49lo que nos puede llevar a entender mejor su funcionamiento.
42:52Si te paras a pensarlo,
42:55no resultaría nada eficaz tener un conjunto de planos
42:58de cada una de las fases en las que aumenta.
43:01Pero si tenemos un código fractal,
43:04un código que nos diga cuándo ramificarse
43:07a medida que va creciendo,
43:10en ese caso, un código genético muy simple
43:13puede producir lo que parece un organismo complicado.
43:16La evolución natural ha dado con un diseño
43:19que parece proporcionar su mayor aprovechamiento.
43:25En 1997, West, Brown y Enquist
43:28anunciaron su controvertida teoría
43:31de que los fractales albergan la clave
43:34a la misteriosa relación entre la masa y energía
43:37utilizada por los animales.
43:40Ahora están probando su teoría en un nuevo Yaudath test,
43:43un experimento que les ayudará a determinar
43:46y puede predecir cómo funciona toda la selva.
43:49Las mediciones del tronco nos indicarán...
43:59Enquist ha viajado a Costa Rica,
44:02a la provincia de Guanacaste, en la parte noroeste del país.
44:09El gobierno ha reservado más de 120.000 hectáreas
44:12en Guanacaste como área de conservación.
44:17Esta selva tropical, al igual que otras de todo el mundo,
44:20ejerce un papel fundamental a la hora de regular
44:23el clima del planeta, ya que absorbe el dióxido de carbono
44:26de la atmósfera.
44:29Si contemplamos esta selva, básicamente podríamos decir
44:32que respira. Si comprendemos la cantidad total
44:35de dióxido de carbono que absorben estos árboles,
44:38entonces podremos comprender mejor cómo esta selva
44:41finalmente regula la cantidad total de dióxido de carbono
44:43de la atmósfera.
44:47Con un número creciente de niveles de dióxido de carbono
44:50a nivel mundial, ¿cuánto CO2 puede absorber una selva como esta?
44:54¿Qué importancia tiene a la hora de protegernos
44:57del calentamiento global que estamos experimentando?
45:00Enquist y un equipo de científicos norteamericanos
45:03opinan que la geometría fractal podría ayudar
45:06a la hora de resolver estos problemas.
45:09Van a empezar haciendo lo último que pensarías
45:12que haría aquí un científico.
45:15Cortar una balsa.
45:18De todas formas se está muriendo y además cuentan
45:21con el permiso de las autoridades.
45:30Enganchar una cuerda en una de las ramas superiores
45:33ayudará a asegurar que el árbol caiga justo donde quieren.
45:39Muy bien, muy bien.
46:05Gracias, José.
46:08¿Está bien?
46:11A continuación Enquist y sus compañeros se disponen
46:14a medir el ancho y la longitud de las ramas
46:17para saber su estructura fractal.
46:2010.06
46:23No, es 8.
46:286.3.03
46:316, 0, 8.
46:35También miden cuánto dióxido de carbono
46:38contiene una sola hoja, lo que les ayudará
46:41a averiguar cuánta cantidad es capaz de absorber todo el árbol.
46:44Si sabemos la cantidad de dióxido de carbono
46:46que puede absorber una hoja, esperemos que usando
46:49la regla de la ramificación fractal podamos saber
46:52cuánto dióxido de carbono es capaz de absorber el árbol.
46:55Su idea es pasar de este árbol a toda la selva.
47:09Vamos a censar este bosque.
47:12Vamos a medir el diámetro en la base
47:14desde los árboles más grandes hasta los más pequeños.
47:19De esta manera podremos hacer una muestra
47:22de la distribución de tamaños de la selva.
47:30Aunque el bosque pueda parecer aleatorio y caótico,
47:33el equipo cree que posee una estructura.
47:36Una que, increíblemente, es casi idéntica
47:39a la estructura fractal del árbol que acaban de cortar.
47:45Lo bonito de esto es que la distribución
47:48de tamaños de los árboles individuales del bosque
47:51parece coincidir a la perfección
47:54con la distribución de los tamaños de cada rama
47:57de un solo árbol.
48:02Si es tal es lo cierto, estudiar un solo árbol
48:05hará que sea más fácil predecir cuánto dióxido de carbono
48:08puede absorber todo un bosque.
48:15Cuando terminan aquí, cogen sus mediciones
48:18y regresan al campamento base para ver si están en lo cierto.
48:22Entonces esto sería el árbol, ¿no?
48:25Lo curioso es que si miras el árbol
48:28ves que se repite el mismo patrón de las ramas
48:31entre los troncos del bosque.
48:34Genial.
48:37Tal y como lo habían predicho,
48:40el número relativo de árboles grandes y pequeños
48:43resulta increíble, son paralelos.
48:46La inclinación de la línea del árbol
48:49parece ser la misma que la del bosque.
48:52Entonces supongo que mereció la pena cortar el árbol.
48:55Sí, sin duda mereció la pena cortarlo.
48:58Hasta ahora, las mediciones obtenidas
49:01parecen apoyar la teoría de que un solo árbol
49:04puede ayudar a los científicos a evaluar
49:07cómo esta selva está ayudando a ralentizar el calentamiento global.
49:10Analizando los patrones fractales del bosque
49:13nos ha permitido hacer algo que no podíamos haber hecho antes.
49:16Contar con una base matemática
49:19para luego predecir cómo el bosque en conjunto
49:22absorbe el dióxido de carbono.
49:25Por último, resulta importante para entender
49:28qué podría pasar con el cambio climático global.
49:32Durante generaciones los científicos han creído
49:35que lo agreste de la naturaleza no se podía definir matemáticamente.
49:38Pero la geometría fractal
49:41nos lleva a un entendimiento completamente nuevo
49:44que revela un orden subyacente
49:47determinado por unas meras reglas matemáticas.
49:50Lo que solía pensar durante mis caminatas por el campo era
49:53son solo unos cuantos árboles de diferentes tamaños,
49:56los grandes aquí, los pequeños allá,
49:59dando la sensación de que es un desastre arbitrario y caótico
50:02cuando en realidad posee una estructura extraordinaria.
50:04Una estructura que se puede trazar y medirse
50:07utilizando la geometría fractal.
50:15Lo que resulta realmente asombroso es que podemos traducir
50:18lo que vemos en la naturaleza en el lenguaje de las matemáticas.
50:21Yo sinceramente no creo que haya nada más bello que eso.
50:29Las matemáticas son la única estrategia
50:31para entender la complejidad de la naturaleza.
50:34Hoy en día, la geometría fractal nos ha proporcionado mayor léxico.
50:37Con este nuevo vocabulario podremos leer más cosas
50:40acerca del libro de la naturaleza.