Correction exercices sur les suites
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00:00 Nous allons corriger l'interrogation numéro 1 sur les suites.
00:06 Première question, on vous a demandé de donner l'expression du terme général U_n
00:11 d'une suite qui n'est ni croissante, ni décroissante, ni constante.
00:15 Il y a plein de suites qui sont ni croissante, ni décroissante, ni constante,
00:18 par exemple celle d'en dessous.
00:19 Et là on voulait l'expression du terme général U_n,
00:22 c'est-à-dire que pour toute n,
00:24 ça c'est dire pour toute antinaturel n, U_n =
00:30 alors il y en a une très connue,
00:32 parenthèse, elle est dans le cours, je l'ai dit, il fallait la connaître,
00:35 c'est le -1, le tout, à la puissance n.
00:38 En effet, on l'a vu dans le cours, si on calcule U_0,
00:41 U_1 dit 0, -1 puissance 0,
00:44 un nombre à la puissance 0 vaut toujours 1.
00:46 U_1 dit 1, -1 puissance 1, ça donne -1.
00:50 U_1 dit 2, -1 au carré,
00:53 -1 au carré c'est -1 fois -1, ce qui donne 1.
00:57 U_1 dit 3, c'est -1 au cube, -1 fois -1 fois -1, ce qui donne -1.
01:03 Cette suite, on l'a vu dans le cours, elle n'est ni croissante, ni décroissante, ni constante.
01:07 En effet, on passe de 1 à -1,
01:09 on remonte à 1, -1 fait 1, -1, 1, -1, 1, -1, 1, -1,
01:13 donc cette suite n'est ni croissante, ni décroissante, ni constante.
01:16 Pour toute n, U_n = -1, le tout à la puissance n.
01:21 Question 2, on vous demande, voici les premiers termes d'une suite,
01:26 peut-on dire que la suite est croissante ?
01:29 On rappelle qu'une suite est croissante si pour tout entier n,
01:33 pour tout entier, le terme qui vient après est supérieur ou égal au terme d'avant.
01:37 Est-ce que c'est le cas ?
01:39 On regarde, V0 - 2,
01:41 après je passe à 3,
01:43 3 c'est bon, croissante ça peut être supérieur ou égal,
01:46 3, 11, et là il y a un souci,
01:48 on passe de 11 à 9.
01:50 Donc question A, non,
01:52 la suite n'est pas croissante,
01:54 et on donne un contre-exemple, car V4 est inférieure à V3.
01:59 V4 ça vaut 9, ce qui est plus petit que V3 qui va à 11,
02:03 donc elle ne peut pas être croissante cette suite.
02:05 Est-ce que cette suite est décroissante ?
02:08 Non, car,
02:10 pourquoi on appelle une suite décroissante ?
02:12 Car dès le départ on voit bien,
02:14 on passe de -2 à 3, dès le départ on augmente,
02:17 donc non car V1 est plus grand que V0,
02:20 donc cette suite ne peut pas être décroissante.
02:22 Et est-ce qu'on a une suite constante ?
02:24 Une suite constante c'est une suite qui vaut tout le temps la même valeur,
02:26 dès le début on passe de -1 à 3,
02:28 non, car,
02:30 dès le départ V0 n'est pas égale à V1.
02:33 Il y avait plein d'autres raisons, on pouvait dire que V3 n'est pas égale à V4,
02:37 Vx4 n'est pas égale à V5.
02:39 Donc là il fallait juste donner des contre-exemples,
02:41 donc cette suite n'est ni croissante, ni décroissante, ni constante.
02:45 Aucune des trois, elle n'a pas de variation.
02:48 Question suivante,
02:50 on vous demande de développer
02:53 A+B le tout au carré,
02:57 donc il s'agit de la première identité remarquable,
02:59 donc ça c'est du cours A+B le tout au carré,
03:03 c'est donc A au carré, on l'a déjà vu en première,
03:05 +2*A*B+B au carré.
03:09 Et je vous donne la deuxième identité remarquable,
03:12 A-B au carré, c'est A au carré,
03:15 -2*A*B+B au carré.
03:20 Et attention, A c'est ce qu'il y a là,
03:23 là j'insiste moins, et B c'est ce qu'il y a ici,
03:25 donc si j'ai x-4 le tout au carré,
03:28 ce qui joue le rôle de A c'est x,
03:31 le moins il est là, et ce qui joue le rôle de B c'est 4.
03:35 Donc attention lorsque vous appliquez ces formules.
03:38 Voilà, petit aparté.
03:40 Exercice 2, soit U_n, la suite définie pour toute antinaturel n,
03:44 par U_1-n = -4*n+3,
03:47 question 1, calculez les 4 premiers termes de la suite,
03:49 on y va, donc ça démarre à U_1-0
03:52 parce que c'est défini pour toute antinaturel n,
03:54 donc c'est -4*0+3 ce qui donne 3,
03:59 U_1-1 -4*1+3 ce qui donne -4+3,
04:08 U_1-1 = -4*2+3-8+3-5
04:15 et U_1-3 c'est donc -4*3+3-12+3-9
04:31 Et on veut les 4 premiers termes,
04:35 donc on s'arrête là, premier terme, deuxième terme, troisième terme, quatrième terme.
04:40 Alors qu'est-ce qu'on peut conjecturer sur cette suite de conjecture ?
04:43 C'est faire une hypothèse, donc on ne peut pas affirmer que la suite est décroissante,
04:46 on fait 3-1-5-9, on n'a pas prouvé qu'elle était décroissante,
04:50 décroissante il faut démontrer que pour toute antinaturel n,
04:54 le terme d'après est plus grand et plus petit que le terme d'avant.
04:57 Ici on ne l'a pas démontré pour toutes les antinaturels n,
04:59 on l'a démontré pour les 4 premiers termes.
05:02 Donc ici on peut conjecturer que la suite, c'est une conjecture,
05:06 semble l'être décroissante.
05:14 On ne l'a pas prouvé pour tous les antinaturesls,
05:16 on l'a prouvé pour les 4 premiers termes.
05:19 Ensuite question 3, on vous dit
05:22 "Démontrez que pour toute antinaturel n, U_n+1=-4n-1"
05:29 Donc là on vous donne la réponse 1, c'est ce qu'on doit montrer.
05:32 On vous donne le résultat final,
05:34 c'est à dire que si vous êtes bloqué à la question 3,
05:35 vous pouvez quand même faire la question 4.
05:37 Si je regarde la question 3, il faut prouver que pour toute antinaturel n,
05:41 U_n+1=-4n-1
05:47 On reprend l'expression du terme général U_n de notre suite qui est ici,
05:53 et là j'ai U_n qui est égal à -4*n.
05:59 Donc nous on veut U_n+1,
06:06 ça signifie que le n ici je vais remplacer par n+1.
06:11 Donc si je le n là, je le remplace par n+1,
06:15 de l'autre côté c'est -4*n,
06:18 donc ça va être -4*n, je le remplace par n+1.
06:23 Mais attention là on a fait -4*n,
06:25 donc c'est -4*(n+1)+3
06:31 On a une simple distributivité -4*n-4n,
06:35 -4*1-4+3,
06:38 et ça donne bien -4n-1,
06:41 c'est ce qu'on devait prouver ici.
06:42 U_n+1 c'est bien -4n-1.
06:46 Et question 4, on vous demande de calculer U_n+1-U_n,
06:49 donc U_n+1-U_n,
06:53 égal U_n+1,
06:55 d'après la question qui précède c'est -4*n-1,
06:59 et on doit soustraire U_n,
07:01 donc je soustrais, attention,
07:03 je soustrais tout U_n, donc parenthèse,
07:06 et on soustrait tout U_n,
07:08 et d'après l'annoncé c'est -4*n+3,
07:11 attention je soustrais tout le U_n.
07:14 Ce qui donne -4*n-1,
07:17 j'ai un - devant une simple parenthèse,
07:20 donc lorsqu'on enlève la parenthèse on prend l'opposé
07:23 des quantités qui sont à l'intérieur,
07:28 donc quand j'enlève --4*n ça va donner +4*n,
07:33 et -+3=-3,
07:35 lorsque j'enlève la parenthèse.
07:37 Ce qui donne donc -4*n+4*n,
07:40 ça s'annule, il reste -1-3, il reste -4.
07:44 Donc U_n+1-U_n=-4.
07:48 Et on vous demande ensuite en déduire les variations de la suite U_n,
07:53 donc on a prouvé que pour toute antinature à l'n,
07:56 U_n+1-U_n=-4,
07:58 or on sait que -4 est strictement inférieur à 0,
08:03 donc c'est même inférieur ou égal à 0, -4,
08:05 et donc vu que -4 est égal,
08:08 c'est égal à U_n+1-U_n,
08:10 comme -4 c'est un nombre négatif,
08:11 ça signifie que U_n+1-U_n est également un nombre négatif.
08:16 Comme les deux quantités sont égales, -4=U_n+1-U_n.
08:20 Donc on écrit que -4 c'est négatif,
08:24 donc comme -4=U_n+1-U_n,
08:29 ça signifie que U_n+1-U_n est négatif également.
08:38 A gauche on va faire +U_n à gauche +U_n à droite,
08:41 donc U_n+1-U_n=U_n+1,
08:46 et ça en en 4, c'est un résultat du cours,
08:48 donc d'après le cours,
08:50 si le terme d'U_n+1 est inférieur ou égal au terme d'U_n,
08:54 ça signifie que la suite U_n est décroissante.
09:00 Et là on l'a bien prouvé pour toute antinature à l'n,
09:03 on a prouvé que pour toute antinature à l'n,
09:05 U_n+1 est inférieur ou égal à U_n,
09:08 donc ça implique que la suite est bien décroissante.
09:12 On va passer à l'exercice 3.
09:15 Dans l'exercice 3, on a une suite V qui est définie de façon explicite,
09:22 et même consigne, calculez les 4 premiers termes de la suite.
09:25 Donc on démarre V_indice 0, V_indice 1, V_indice 2,
09:29 et comment on veut les 4 premiers termes ?
09:31 1er terme, 2e terme, 3e terme, 4e terme,
09:34 donc V_indice 0, ça donne -3*n^2,
09:38 donc 0^2+4*0-2,
09:43 V_indice 1, c'est 3*1^2+4*1-2,
09:48 V_indice 2, c'est 3*2^2+4*2-2,
09:53 et V_indice 3, c'est 3*3^2+4*3-2,
10:01 ce qui donne 0^2, 0*3,
10:03 donc ça donne 0+4*0-2, ce qui est égal à -2,
10:09 1^2, ça vaut 1, donc 3*1=3,
10:12 +4*1=4-2, ce qui donne 5,
10:16 2^2=4, 4*3=12, +8-2,
10:23 donc 12+8=20, -2=18,
10:26 et 3^2=9, 9*3=27,
10:29 +12-2=37,
10:34 donc la suite fait -2, 5, 18, 37,
10:36 qu'est-ce qu'on peut conjecturer sur cette variation ?
10:39 La suite semble être croissante.
10:47 Question 3, on vous demande de démontrer que pour toute antinaturelle n,
10:57 V_indice n+1=3n^2+n+1,
11:01 donc ça c'est le résultat final que l'on doit obtenir,
11:03 on vous donne la réponse.
11:05 Donc nous on va partir d'une ancienne,
11:06 on sait que V_indice n, c'est 3*n^2+4*n-2,
11:11 donc ici je veux V_indice n+1,
11:16 donc le n là je vais remplacer par n+1,
11:19 donc c'est égal à 3*n^2,
11:23 comme le n je vais remplacer par n+1,
11:25 j'aurai n+1, attention, le tout au carré,
11:30 +4*n+1,
11:34 donc ça va être +4*n+1,
11:36 mais attention, entre parenthèses,
11:38 là j'ai 4*n, donc c'est 4*n+1-2,
11:44 ce qui donne 3*n+1,
11:48 le tout au carré c'est la première identité remarquable,
11:51 on a vu le rappel,
11:52 donc c'est a^2, donc n^2+2*b+2*n*1+b^2*1^2,
12:01 +4*n+4*n+4*1+4-2,
12:18 donc ça donne 3*n^2+2*n+1+4*n+2,
12:29 4-2, et ici j'ai une simple distributivité,
12:34 donc ça donne 3*n^2+3*2*n+6*n+3*1+3,
12:40 simple distributivité,
12:42 +4*n+2,
12:45 donc ça donne 3*n^2+6*n+4*n+10*n+3+2+5,
12:53 et c'est exactement ce qu'on devait trouver.
12:57 Question 4, on vous demande de montrer que pour toute antinature ln,
13:00 v_indicen+1-v_indicen=6*n+7,
13:03 donc ça on vous donne encore une fois la réponse,
13:05 donc on calcule v_indicen+1-v_indicen,
13:09 v_indicen+1, d'après la question 3,
13:13 on sait que c'est égal à 3*n^2+10*n+5,
13:17 et attention là il faut soustraire tout le vn,
13:20 donc je soustrais -tout le vn,
13:24 donc parenthèse, et dans la parenthèse on marque tout le vn,
13:27 c'est 3*n^2+4*n-2,
13:32 ce qui donne 3*n^2+10*n+5,
13:36 attention ici j'ai un - devant une simple parenthèse,
13:40 donc le 3*n^2 ça va devenir -3*n^2,
13:44 le +4*n-4*n, et le -2 va devenir +2,
13:48 attention, simplement devant une parenthèse,
13:51 on regroupe les n^2 ensemble,
13:53 3*n^2-3*n^2, hop ça s'annule,
13:56 10*n-4*n il reste 6*n,
13:59 et 5+2=7,
14:02 c'est exactement ce qu'on devait trouver,
14:04 20*n+1-20*n=6*n+7.
14:08 Question 5, en déduisant les variations de la suite,
14:11 va-t-on justifier ou recouvrir son nombre ?
14:13 On a montré que pour tout antinaturel n,
14:15 20*n+1-20*n=6*n+7,
14:17 ce qu'on aimerait bien reconnaître c'est le signe de 6*n+7,
14:21 donc qu'est-ce que l'on sait ? On sait que n c'est un antinaturel,
14:24 donc n appartient aux antinaturels par définition,
14:27 n c'est sa définition, c'est un antinaturel,
14:30 attention, les antinaturels N ça démarre à 0,
14:33 les antinaturels c'est 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10,
14:37 donc comme n est un antinaturel, n est donc supérieur ou égal à 0,
14:41 n peut valoir 0, les antinaturels démarrent à 0,
14:44 donc n est supérieur ou égal à 0.
14:46 Donc 6*n+7 on va multiplier par 6 à gauche,
14:52 donc n c'est un nombre positif,
14:54 si je le multiplie par 6 qui est un nombre positif,
14:57 6 c'est un nombre positif, n est positif,
14:59 donc positif fois positif ça donne un nombre positif,
15:02 et donc si j'ai un nombre positif, 6*n est positif,
15:06 et que je lui rajoute 7,
15:08 j'ai un nombre positif et je lui fais +7,
15:10 donc ça reste un nombre positif,
15:12 et donc on a démontré que 6*n+7 c'est toujours une quantité positive,
15:17 et vu que c'est égal à v_indicen+1-v_indicen,
15:22 ça signifie que donc v_indicen+1-v_indicen est également positif,
15:28 +v_n à gauche +v_n à droite,
15:31 donc on a montré que pour toute antinaturel n,
15:33 v_indicen+1 est donc supérieur ou égal à v_n,
15:37 et ça c'est d'après votre cours,
15:40 si le terme d'après est supérieur ou égal au terme d'avant,
15:43 v_indicen+1-v_indicen est supérieur ou égal à v_indicen,
15:46 donc là on a prouvé que v_n la suite est croissante,
15:51 là on l'a bien démontré, v_n est une suite croissante.
15:56 Alors exercice suivant,
15:59 c'était le 4, donc on a une suite définie par une relation de récurrence,
16:03 donc juste petit rappel, une relation de récurrence,
16:05 c'est dire qu'on a une égalité entre le terme d'une suite et le terme d'avant ou le terme d'après,
16:11 donc je rappelle que si j'ai u_indicen,
16:14 ce qui vient après u_indicen c'est u_indicen+1,
16:18 donc si là en u_indicen je suis en u_indice 33,
16:22 le terme d'après c'est u_indice 34,
16:26 si là je suis en u_indice 5, le terme d'après c'est u_indice 6,
16:31 et généralement dans les exercices on vous demande dans l'autre sens,
16:34 si là en u_indicen+1 je suis en u_100,
16:37 en u_indicen je suis donc en u_99,
16:40 et donc si en u_indicen+1 je suis en u_1,
16:43 le terme d'avant ça signifie que j'étais en u_0.
16:47 Donc voici la relation de récurrence,
16:50 j'ai w_indicen+1, le terme d'après c'est donc -3 fois
16:55 -3w_n c'est -3 fois w_n, donc c'est -3 fois le terme d'avant,
17:01 -4, et on vous donne le premier terme avec w_indicen qui donne -2.
17:06 On vous demande de calculer w_1, w_2, w_3, w_4.
17:11 Donc on y va là,
17:13 hop, w_1,
17:16 si w_indicen+1 je suis en w_1,
17:19 c'est donc égal à -3 fois,
17:24 si là je suis en w_1, c'est dire que le terme d'avant j'étais en w_0,
17:29 donc c'est -3 fois w_0, -4,
17:33 ce qui donne -3 fois -2, -4,
17:38 -3 fois -2, 6, -4, il reste 2.
17:43 Ensuite, w_2,
17:47 si là je suis en w_2,
17:50 ça signifie que le terme d'avant j'étais en w_1,
17:53 donc c'est -3 fois w_1, -4,
18:00 ce qui donne -3 fois 2, -4,
18:03 ce qui donne -6, -4, ce qui donne -10.
18:10 Ensuite, w_3,
18:15 c'est donc égal, si là je suis en w_3,
18:18 c'est donc -3 fois le terme qu'il précède w_1, w_2,
18:23 -4, ce qui donne -3 fois -10, -4,
18:28 ce qui donne 30, -4, ce qui donne 26.
18:33 Et enfin, w_4,
18:36 c'est donc -3 fois w_3, -4,
18:45 ce qui donne -3 fois 26, -4,
18:49 alors -3 fois 26, ça donne -78,
18:58 -78, -4, -82.
19:06 Voici les premiers termes de la suite,
19:07 w_0, ça vaut -2, ensuite 2, -10,
19:12 -26, -82.
19:22 Question suivante, on vous dit "Dans un repère orthogonal du plan,
19:28 représentez graphiquement les 5 premiers termes de cette suite."
19:30 Alors je ne comprends pas pourquoi il y a eu plein d'erreurs là-dessus,
19:32 juste placer les points d'une suite,
19:35 repère ortho, hop, on y va,
19:38 tac, tac,
19:41 donc 0, là je rappelle que c'est l'axe des n,
19:44 donc les n, là on a w_0, 1, 2, 3, 4,
19:47 donc 0, 1, 2, 3, 4,
19:52 et après en ordonnée, là ça va être les w_n,
19:55 donc on va de -82 jusqu'à 26,
19:59 donc on va essayer de faire de 10 en 10,
20:01 allez donc là on va faire 10, 20, 30,
20:06 et donc -10, -20,
20:10 -30, -40, etc.
20:17 Allez, donc on y va, quand n vaut 0, l'axe des n est là,
20:21 quand n vaut 0, lorsque n est égal à 0,
20:25 w_0 ça vaut -2,
20:28 donc il y a un point ici,
20:31 là le petit point rouge, je ne compte pas, c'était une erreur.
20:35 Voilà, ensuite quand n, l'axe des n est là,
20:39 donc quand n vaut 1, w_1 ça vaut 2,
20:44 donc un point ici,
20:47 ensuite quand n vaut 2, w_2 ça donne -10,
20:52 donc un point ici,
20:55 lorsque n vaut 3, w_3 vaut 26,
21:01 donc un point ici,
21:05 et lorsque n vaut 4, w_24 vaut -82,
21:09 donc un point ici.
21:14 Question 3, alors on ne relie surtout pas les points,
21:17 c'est une suite définie sur les antinaturels,
21:19 donc on ne les relie surtout pas,
21:20 et qu'est-ce qu'on obtient graphiquement ?
21:22 On obtient un nuage de points.
21:32 Exercice 5, on a une suite définie par une relation de récurrence,
21:35 en effet on a z_1 10 n + 1,
21:38 c'est le terme qui vient juste après, z_1 10 n,
21:42 et on vous demande de calculer,
21:43 on vous donne z_0 qui vaut 5,
21:45 et on vous demande de calculer z_1 et z_2,
21:47 donc on y va, question 1, z_1 10 1,
21:50 donc si l'année d'après je suis en z_1,
21:53 ça signifie que en z_1 10 n, je suis en z_1 10 0,
21:57 donc z_1 c'est égal à z_1 10 0,
22:01 plus 3 fois,
22:03 et là chaque année c'est tout le temps la même erreur ici,
22:07 qu'est-ce que l'on met ici ?
22:09 Alors ce qu'il faut regarder c'est le n,
22:12 regardez je vais zoomer,
22:14 le n ici c'est la même valeur,
22:18 attention pas que z_n que le n qui est là,
22:22 ça c'est z_1 10 n,
22:24 et là j'ai 3 fois n,
22:25 donc le n qui est en 1 10,
22:27 c'est le n qui est ici,
22:30 donc là si on zoom,
22:32 le n, je ne parle pas de z_0,
22:37 je parle juste de l'indice,
22:38 donc là le 0 ici,
22:39 ça doit être le même qui est ici,
22:41 donc c'est plus 3 fois 0,
22:43 plus 2,
22:47 ce qui est égal, attention,
22:49 là c'est z_1 10 0 d'après l'énoncé,
22:51 z_1 10 0 faut 5,
22:53 donc c'est 5 plus 3 fois 0,
22:56 0 plus 2,
22:58 ce qui donne 7,
23:00 et on continue,
23:02 z_1 10 2,
23:04 donc si là je suis en z_2,
23:06 ça signifie qu'ici j'étais en z_1 10 1,
23:08 c'est donc z_1 10 1,
23:10 plus 3 fois,
23:14 attention, le petit n qui est ici,
23:16 c'est le même n qui est en 1 10,
23:18 donc là le petit n c'est 1,
23:20 donc c'est plus 3 fois 1,
23:22 plus 2,
23:25 ce qui est égal à z_1 10 1,
23:27 c'est donc 5 plus 3 plus 2,
23:30 ce qui donne 5 6 7 8 9 10,
23:35 Ensuite, question 2,
23:39 calculez z_1 10 n plus 1 moins z_1 10 n,
23:41 puis on déduit les variations de la suite,
23:43 z_1 10 n plus 1 moins z_1 10 n,
23:46 ce qui est bien c'est que lorsqu'on a une relation de récurrence,
23:49 on sait déjà ce que c'est que z_1 10 n plus 1,
23:51 d'après l'énoncé, si vous regardez,
23:53 z_1 10 n plus 1, c'est égal,
23:56 donc ça, z_1 10 n plus 1,
23:58 égal ça,
24:00 donc là on a juste à remplacer,
24:02 d'après l'énoncé, z_1 10 n plus 1,
24:04 c'est z_1 10 n plus 3 z_n plus 2,
24:08 attention,
24:10 il faut soustraire moins z_1 10 n,
24:12 et il nous reste quoi,
24:14 z_n moins z_n, ça s'annule,
24:16 il reste donc 3 z_n plus 2,
24:18 ça va très vite lorsqu'on a une relation de récurrence,
24:20 pour calculer ça,
24:22 easy,
24:24 z_1 10 n plus 1 moins z_1 10 n,
24:26 vaut 3 z_n plus 2,
24:28 et nous on aimerait bien connaître le signe de 3 z_n plus 2,
24:30 on le connaît assez facilement,
24:32 on sait que n, c'est un entier naturel,
24:36 donc par définition, comme n est un entier naturel,
24:39 n est supérieur ou égal à 0,
24:41 ensuite je vais multiplier par 3,
24:43 n c'est un nombre positif,
24:45 donc un nombre positif, si je multiplie par 3,
24:47 3 c'est positif, n c'est positif,
24:49 donc 3 fois n, ça reste une quantité positive,
24:51 et si j'ai un nombre positif,
24:53 et que je rajoute +2,
24:55 donc 3 z_n + 2, ça reste positif,
24:58 donc on a 3 z_n + 2 qui est positif,
25:00 or 3 z_n + 2, c'est égal à z_n + 1,
25:03 moins z_n donc,
25:05 z_1 10 n + 1,
25:07 moins z_1 10 n, est positif,
25:10 et donc,
25:12 plus z_n à gauche, plus z_n à droite,
25:14 z_1 10 n + 1, est donc supérieur ou égal à z_n,
25:17 et ça, ça signifie, d'après le cours,
25:20 que si pour toute n, z_1 10 n + 1,
25:22 est supérieur ou égal à z_n,
25:24 ça signifie que la suite z,
25:26 la suite, est croissante.
25:28 Et c'est bien cohérent avec notre hypothèse,
25:32 on avait calculé z_0 5, z_1 7, z_2 10,
25:35 donc c'est cohérent qu'on trouve quelque chose de croissant.
25:38 Ok, on va passer au dernier exercice,
25:40 qui vous a mis un peu en difficulté,
25:43 ah, dès qu'il y a des fractions,
25:45 de toute façon, ça c'est mal acquis.
25:47 Pour cet exercice là,
25:49 je vous ai donné pendant les vacances de la Toussaint Demes,
25:51 sur les fractions, la partie bonus.
25:54 Donc si vous avez du mal, vous cliquez sur la vidéo
25:56 qui vous explique toutes les fractions dans le DM,
25:58 il y avait la partie bonus,
26:00 il y avait un lien qui vous expliquait les fractions,
26:02 donc je vous conseille de cliquer dessus, de le regarder.
26:04 Alors, question 1, on a soit t_1 10 n,
26:08 la suite est définie pour toute antinature à la n,
26:10 donc elle est définie de façon explicite.
26:12 J'ai t_1 10 n = 2 n + 1 / n + 1.
26:16 Question 1, on vous demande de calculer t_1, t_2, t_3,
26:19 pour qu'elle donne le résultat sur la forme d'une fraction réductible.
26:22 Donc là, je vais réécrire, j'ai t_1 10 n = 2 / n + 1 / n + 1.
26:37 Ça, c'est défini de façon explicite.
26:40 Donc on y va, si je veux,
26:42 t_1 10 1 2 3,
26:44 oui, défini pour toute antinature à la n non nulle.
26:47 OK, donc on démarre, on veut t_1 10 1.
26:50 Donc là, j'ai le n, je l'ai remplacé par 1,
26:54 donc désolément, je vais remplacer le n par 1,
26:56 donc ça fait 2 / 1 + 1 / 1,
27:03 je remplace le n par 1 + 1.
27:06 Là, je vais laisser exprès 2 / 1 + 1/2.
27:11 Et donc, pour additionner deux fractions,
27:14 il faut les mettre au même dénominateur,
27:16 donc pour les mettre au même dénominateur,
27:18 je vais multiplier par 2 au dénominateur,
27:20 et si je multiplie par 2 au dénominateur,
27:22 je dois multiplier par 2 au numérateur,
27:25 ce qui est donc égal à 4 / 2,
27:31 4/2 + 1/2,
27:33 les deux fractions au même dénominateur,
27:35 ce qui donne donc 5/2.
27:37 Donc t_1 10 1 vaut 5/2.
27:40 Ensuite, t_1 10 2,
27:43 donc le n, je le remplace par 2,
27:45 t_1 10 2 est égal à 2 / 2 + 1 / 2 + 1,
27:54 je laisse la fraction,
28:01 2 / 2 + 1/3,
28:04 et donc pour additionner les deux fractions,
28:08 il faut les mettre au même dénominateur,
28:09 donc à gauche, on va mettre tout sur 6,
28:11 donc je vais multiplier par 3 à gauche,
28:13 donc si je multiplie par 3 au dénominateur,
28:15 je vais multiplier par 3 au numérateur,
28:17 et là je vais multiplier par 2 au dénominateur,
28:19 et par 2 au numérateur,
28:21 ce qui donne donc 6/6 + 2/6,
28:27 et ce qui donne donc 8/6.
28:30 Et là on va demander la forme irréductible,
28:33 donc 8/6,
28:35 on sait que 8 c'est 2 x 4,
28:37 6 c'est 2 x 3,
28:39 donc les deux, hop,
28:41 je vais simplifier parce qu'on a des multiplications,
28:43 donc 8/6 c'est égal à 4/3,
28:45 forme irréductible,
28:47 donc t_2 c'est 4/3,
28:49 et ensuite on vous demande t_1 10 3,
28:52 donc je remplace le n par 3,
28:55 t_1 10 3 c'est donc à 2 / 3,
28:59 donc 2/3 + 1 / 3 + 1,
29:06 ce qui est donc égal à 2/3 + 1/4.
29:11 Alors on va les mettre au même dénominateur,
29:14 donc on va les mettre sur 12,
29:15 donc pour mettre sur 12 là je vais multiplier par 4 au dénominateur,
29:18 par 4 au numérateur,
29:19 et là je vais multiplier par 3 au dénominateur,
29:21 par 3 au numérateur,
29:23 donc ce qui donne 8/12 + 3/12,
29:27 et ce qui donne 11/12.
29:30 Donc t_3 c'est égal à 11/12.
29:36 Alors qu'est-ce qu'on peut conjecturer sur les variations de cette suite ?
29:42 Donc si on regarde, 5/2 c'est égal à 2,5,
29:45 4/3 environ à 1/33,
29:47 11/12 à environ 0.91,
29:49 donc la suite semble être décroissante.
29:52 Question 2, pour démontrer qu'une suite décroissante est décroissante,
29:56 recopiez, complétez, pointez, c'est sûr,
29:58 on va calculer le terme d'1 10 n + 1,
30:00 comme dans l'exercice que l'on a déjà vu.
30:02 Dans l'exercice 3, on calcule v_1 10 n + 1,
30:05 pour faire v_1 10 n + 1 - v_1 10 n.
30:07 Dans l'exercice 2, pour établir les variations,
30:09 on calcule u_1 10 n + 1,
30:11 et après on fera u_1 10 n + 1 - u_1 10 n.
30:14 Donc dans la question 2, ce qu'on veut, c'est juste le terme d'après,
30:16 on veut t_1 10 n + 1,
30:19 et en plus je vous avais guidé.
30:21 Donc là, je veux donc, question 2,
30:23 je veux t_1 10 n + 1,
30:27 égal, donc là le n,
30:30 je l'ai remplacé par n + 1,
30:33 donc tous les autres n, il faut donc les remplacer par n + 1,
30:36 c'est ce qu'on a vu dans les exercices d'avant,
30:38 donc ça donne 2 sur, là le n j'ai remplacé par n + 1,
30:41 donc n + 1,
30:43 + 1 sur le n je remplace par n + 1,
30:46 n + 1,
30:48 et il reste + 1.
30:50 Donc si vous regardez l'aide, on en est exactement ici.
30:53 Ensuite, on calcule,
30:55 donc ça donne 2 sur n + 1,
30:58 + 1 sur n + 2.
31:02 Et ici, regardez,
31:05 je vous ai dit qu'il faut mettre au même dénominateur,
31:07 et en plus je vous égale, je vous dis,
31:09 attention, il faut bien mettre des parenthèses.
31:11 Donc pour mettre au même dénominateur,
31:14 pour additionner deux fractions,
31:15 il faut les mettre au même dénominateur.
31:16 Donc ce qu'on a le droit de faire, c'est multiplier par même nombre.
31:19 Donc là je vais avoir 2 fois,
31:21 entre parenthèses,
31:23 sur n + 1,
31:25 fois, entre parenthèses.
31:28 Donc pour les mettre au même dénominateur,
31:31 ici, on va multiplier par n + 2 à gauche.
31:35 Donc je vais multiplier par n + 2 au dénominateur,
31:37 n + 2 au numérateur,
31:39 +,
31:41 et la fraction droite,
31:43 donc je mets bien les parenthèses,
31:46 fois, fois.
31:48 Pour les mettre au même dénominateur,
31:50 je vais donc multiplier par n + 1,
31:52 et là par n + 1,
31:54 en mettant bien les parenthèses.
31:56 C'est exactement ce qu'on a fait pour calculer T1, T2, T3.
31:59 Sauf que là c'est avec des n.
32:01 Donc là, ici,
32:03 les deux fractions ont le même dénominateur,
32:05 leur dénominateur c'est n + 1 x n + 2,
32:07 donc n + 2 x n + 1, c'est pareil que n + 1 x n + 2.
32:10 Donc là les deux fractions ont le même dénominateur,
32:13 donc je peux les regrouper sur le dénominateur
32:15 n + 1 x n + 2,
32:18 même dénominateur,
32:20 c'est donc 2 x n + 2,
32:23 + 1 x n + 1.
32:26 Les deux fractions ont le même dénominateur,
32:28 on peut le regrouper.
32:30 Et en plus je vous donnais le résultat final,
32:34 on devait trouver 3 n + 5 sur n + 1 x n + 2.
32:37 Ce qui donne, donc là j'ai n + 1 x n + 2,
32:41 et ici on a deux doubles distributivités,
32:45 là c'est sympa, j'ai un plus.
32:47 Donc on fait la simple distributivité,
32:49 n + 1 x n + 2,
32:51 + 2 x 4, + 2 x 2 = 4,
32:53 et là j'ai + 1 x ça,
32:55 + 1 x n + n,
32:57 + 1 x 1 + 1.
32:59 Et ça donne donc 3 n + 5
33:02 sur n + 1 x n + 2.
33:06 Et c'est ce que je vous donnais ici.
33:09 Donc même si vous étiez bloqué à la question 2,
33:11 vous pouvez faire la suivante,
33:12 on a T_n + 1, c'est donc 3 n + 5
33:14 sur n + 1 x n + 2.
33:17 Question 3, on admet.
33:19 Ça veut dire quoi, on admet ?
33:21 C'est-à-dire qu'on vous donne le résultat, on l'admet.
33:23 C'est-à-dire qu'il ne faut pas le calculer,
33:24 que pour tout antinaturel n,
33:25 on a T_n + 1 - T_n.
33:27 On pourrait le calculer,
33:30 T_n + 1, c'est ça,
33:32 - T_n, c'est tout ça.
33:34 Sauf que là, vu que le sujet est en temps limité,
33:36 je vous donne le résultat,
33:38 je vous dis que T_n + 1 - T_n = ça.
33:40 Je vous ai fait le calcul,
33:42 donc quand c'est écrit "on admet que",
33:44 c'est-à-dire le résultat est admis,
33:46 il ne faut pas le recalculer.
33:47 Certains en contrôle m'ont calculé
33:49 T_n + 1 - T_n.
33:50 Ils m'ont tout refait.
33:51 Mais non, le résultat est donné ici.
33:53 Et on vous dit "on admet qu'on a le résultat".
33:55 Donc on ne le calcule pas,
33:57 c'est moi qui vous donne la réponse ici.
33:59 Vous ne faites pas le travail en double.
34:00 On admet que T_n + 1 - T_n,
34:02 voilà, je suis gentil, je vous ai fait le calcul,
34:04 vous avez le résultat.
34:05 Donc quand on admet un résultat,
34:07 on ne le recalcule pas.
34:08 Donc là, on admet que pour tout antinatural n,
34:11 T_n + 1 - T_n, c'est ça.
34:15 Le terme d'après-moins, le terme d'avance,
34:16 si on le calcule, on trouve ça.
34:17 On l'admet, ok.
34:19 Donc on fait ensuite la question 3.1.
34:21 En étudiant le signe du numérateur
34:24 et le signe du dénominateur,
34:27 en déduisant le signe de T_n + 1 - T_n,
34:30 on va étudier le signe du numérateur.
34:35 Donc le numérateur de la fraction,
34:37 c'est -3n - 4.
34:39 Bon, ce n'est pas très dur.
34:41 On sait quoi ?
34:43 On sait que n, c'est un entier naturel.
34:45 Donc par définition, n, c'est une quantité positive.
34:50 C'est un nombre positif.
34:52 Donc si j'ai un nombre positif,
34:54 je le multiplie par -3.
34:55 n, c'est positif, donc -3 * n.
34:58 Donc n est positif, -3 est négatif,
35:00 négatif * positif, c'est négatif.
35:02 Donc -3n est négatif,
35:06 donc si j'ai une quantité négative
35:08 et que je lui enlève 4,
35:09 un nombre négatif -4, ça reste négatif.
35:12 Donc le numérateur,
35:14 c'est toujours une quantité négative.
35:16 Ensuite, le dénominateur,
35:19 on a n + 1 * n + 2.
35:21 Donc on sait que n est un entier naturel.
35:23 Donc n >= 0.
35:27 Donc, comme n est positif,
35:29 si je lui rajoute 1, c'est positif.
35:31 Et n est positif,
35:35 donc n + 2 est également positif.
35:39 n + 1, c'est positif,
35:41 et n + 2, c'est positif.
35:44 Donc n + 1 * n + 2,
35:49 n + 1, c'est un nombre positif,
35:51 n + 2, c'est une quantité positive,
35:53 donc un nombre positif * un nombre positif,
35:55 ça donne un nombre toujours positif.
35:57 Positif * positif = positif.
36:00 Donc le dénominateur,
36:02 c'est toujours une quantité positive.
36:05 Et enfin, on conclut,
36:08 le numérateur est tout le temps négatif,
36:10 le dénominateur est toujours positif.
36:13 Donc,
36:14 t1 * n + 1 - t1 * n,
36:19 si j'ai une quantité négative
36:21 et que je le divise par une quantité positive,
36:23 ça donne toujours une quantité négative.
36:27 La règle, ça s'applique à un nombre positif
36:30 divisé par un nombre positif,
36:31 ça donne un nombre positif,
36:32 un nombre négatif divisé par un nombre négatif,
36:34 ça donne un nombre positif,
36:36 et négatif divisé par positif,
36:38 ça donne un nombre négatif.
36:40 Donc là, numérateur toujours négatif,
36:43 dénominateur toujours positif,
36:44 donc négatif divisé par un nombre positif,
36:46 ça donne négatif.
36:47 Et donc t1 * n + 1 - t1 * n est toujours négatif,
36:50 donc + tn à gauche + tn à droite,
36:53 t1 * n + 1 est donc inférieur ou égal à t1 * n,
36:57 et ça d'après-cours,
36:59 ça signifie que la suite tn est décroissante.
37:04 Voilà, pour cet exercice, bonne révision !