TSTI2D - Correction des exercices du chapitre 1 : Fonction exponentielle de base a
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00:00Allez, on va procéder à la correction de l'entraînement sur le chapitre numéro 1.
00:05Donc je rappelle, on recherche les exercices avant de regarder la correction.
00:09Si vous ne faites que regarder, ça ne vous fera pas progresser.
00:12Vous allez apprendre sur le coup, et après vous l'aurez oublié au bout d'un mois.
00:17Donc il faut vraiment chercher les exercices avant la correction.
00:20Alors, hop, on passe en bleu, en rouge.
00:27Alors on y va, exercice 1.
00:30Donnez pour tout réel X une expression de la fonction exponentielle de base 5.
00:36Donc ça c'est du court, question 1.
00:38La fonction exponentielle de base 5 pour tout réel X, ça s'écrit f de X,
00:42égale 5 puissance X.
00:46Alors attention, si on a un nombre négatif, si on vous avait demandé la fonction exponentielle de base...
00:52Pardon, si on avait une fraction 1 tiers, par exemple,
00:54si on vous demandait 1 tiers, c'est 1 tiers, le tout, puissance X.
00:58Si on vous demande 1 tiers comme dans la question 4.
01:00Attention, si vous avez une fraction, il ne faut pas oublier les parenthèses pour que tout soit.
01:04Mais là, question 1, la fonction exponentielle de base 5, c'est f de X égale 5 puissance X.
01:10Question 2.
01:12Écrire sans puissance négative les nombres suivants.
01:1710 puissance moins 3, 7 puissance moins 4, 0 8 puissance moins 1.
01:20Je rappelle qu'on avait une propriété du cours, on a vu qu'on a A puissance moins X,
01:24A puissance moins X c'est 1 sur A à la puissance de X.
01:28Ça c'est la propriété du cours.
01:30Donc on y va, 10 puissance moins 3, c'est égal à 1 sur 10 puissance 3.
01:36Là on peut simplifier, c'est égal à 1 sur 10 puissance 3.
01:40On peut s'arrêter là pour écrire sans puissance négative,
01:43donc si au contrôle vous arrêtez là, vous avez tous les points.
01:45Mais là on peut continuer, pour 10 puissance 3, on s'excède 10 fois 10 soit 10 000,
01:49et 1 divisé par 1000, on s'excède 0,001.
01:52Et pour cela, quand on vous demande en physique d'arrondir à 10 puissance moins 3,
01:57on arrondit à 1, 2, 3, on arrondit à 3 chiffres après la virgule,
02:00on arrondit au millième près.
02:02Ensuite 7 puissance moins 4, je sépare pour la virgule,
02:06donc puissance négative, ça c'est 1 sur 7 puissance 4.
02:10Là on peut s'arrêter là, vous avez tous les points,
02:13on a bien une puissance négative ici.
02:15Et après cette puissance quinte, on peut le faire 7 fois 7, 49,
02:18après vous faites 49 fois 7 et encore fois 7.
02:21Et ensuite 0.8 puissance moins 1,
02:24donc ça c'est 1 sur 0.8 à la puissance 1.
02:28Et là il faut même simplifier, un nombre à la puissance 1 vaut toujours lui-même,
02:32donc 0.8 puissance 1 c'est 0.8.
02:36Ça c'était pour la question 2.
02:38Question 3, soit f, la fonction définie sur R,
02:41donc R ça veut dire de moins l'infini jusqu'à plus l'infini,
02:45ce sont tous les nombres réels, donc c'est ça,
02:47c'est pareil, moins l'infini plus l'infini ou R, c'est la même chose.
02:50Donc définie sur R par f de x égale moins 12 fois 1.8 puissance x,
02:55attention c'est puissance, c'est pas 1 fois, c'est puissance x,
02:58déterminer ses variations.
03:00Donc on veut les variations de la fonction f,
03:02donc qu'est-ce que l'on observe ?
03:04On observe ici que l'on a la fonction exponentielle de base 1.8,
03:10donc on va écrire la fonction qui a x associé,
03:14donc la flèche à dire associé 1.8 puissance x,
03:18c'est la fonction exponentielle de base 1.8,
03:20et on sait qu'elle est croissante sur R,
03:28et là il faut bien justifier d'après le cours,
03:30car on sait que 1.8 est strictement plus grand que 1,
03:34ça c'est le cours, je l'encadre en rouge,
03:37hop et hop.
03:40Donc comme 1.8 est strictement plus grand que 1,
03:42la fonction exponentielle de base 1.8 est strictement croissante sur R.
03:48Et ensuite qu'est-ce qu'on en effectue ?
03:50On multiplie par moins 12,
03:52et on a vu que lorsqu'on multiplie par un nombre négatif,
03:54les variations changent.
03:56Donc la fonction f,
04:02donc on rappelle la fonction f c'est f de x,
04:05qui est égale à moins 12 fois 1.8 puissance de x,
04:09et comme on a multiplié par un nombre négatif,
04:12elle va être décroissante sur R.
04:24Voilà pour la question 3.
04:26Question 4.
04:32Soit j'ai la fonction définie sur R par g de t,
04:35donc il ne faut pas avoir peur,
04:36c'est-à-dire que la fonction dépend du temps t,
04:38en physique chimique vous n'aurez quasiment que des fonctions
04:40qui dépendent du temps t,
04:42par g de t égale à moins 5 fois 1 tiers à la puissance de t.
04:45Déterminez cette variation.
04:47Comme tout à l'heure ici,
04:49on constate que l'on a la fonction exponentielle de base 1 tiers.
04:53Donc on écrit t,
04:55ça dépend de t,
04:57donc la fonction qui a t associé 1 tiers le tout à la puissance de t,
05:02cette fonction est strictement décroissante,
05:06donc elle est décroissante sur l'ensemble des nombres réels,
05:12donc cette fonction est décroissante sur l'ensemble des nombres réels,
05:15car, et pourquoi elle est décroissante,
05:17on cite la propriété du cours,
05:19on sait que 1 tiers c'est environ 0.33,
05:21car 1 tiers c'est strictement plus grand que 1,
05:241 tiers c'est strictement plus grand que 0,
05:31et 1 tiers c'est strictement plus petit que 1,
05:34donc on dit que 1 tiers est strictement compris entre 0 et 1.
05:38Donc t qui associe 1 tiers à la puissance de t est décroissante sur r,
05:42car 1 tiers est strictement compris entre 0 et 1.
05:45Et ensuite qu'est-ce que l'on effectue,
05:47on multiplie encore par moins 5,
05:49et on sait que lorsqu'on multiplie par un nombre négatif,
05:51c'est la propriété du cours,
05:53le sens des variations de la fonction change,
05:58donc la fonction g,
06:04donc c'est quoi notre fonction g,
06:06pour tout t c'est égal à moins 5 fois 1 tiers à la puissance de t,
06:12et qu'est-ce qu'elle va être cette fonction,
06:14on a une fonction t qui associe 1 tiers de t est décroissante,
06:16je la multiplie par moins 5 qui est un nombre négatif,
06:18donc elle va être croissante sur r,
06:22car on a multiplié par un nombre négatif.
06:26Voilà pour l'exercice 1.
06:32Ensuite exercice 2.
06:34Lors du test d'un produit antibactérien,
06:36le nombre de bactéries en millions dans une solution
06:40est donné en fonction du temps t,
06:43donc là attention le temps est en heures,
06:45par une fonction b définie sur 0.8,
06:48par b de t égale 95 soit 0.92 puissance de t,
06:52ça veut dire que t représente le temps en heures écoulées,
06:55entre 0 et 8 heures,
06:57et b de t c'est le nombre de bactéries en millions.
07:00Donc question 1, déterminer les variations de b sur 0.8,
07:04donc la fonction b, qu'est-ce que l'on constate pour la fonction b,
07:08on reconnaît ici la fonction exponentielle de base 0.92,
07:14donc sur une copie on va écrire que t,
07:16la fonction qui est associée à 0.92 puissance de t,
07:21est décroissante,
07:25donc là l'exercice, si vous regardez,
07:27on travaille sur l'intervalle 0.8,
07:29ça c'est dans l'exercice,
07:30donc on va dire qu'elle est décroissante entre 0 et 8 heures,
07:33et décroissante sur 0.8,
07:35car, et là on cite la propriété du cours,
07:38comme c'est une fonction exponentielle de base 0.92,
07:42et que 0.92 est strictement plus grand que 0,
07:45et strictement inférieur à 1.
07:49Voilà, et ensuite qu'est-ce que l'on effectue à la fonction,
07:52on la multiplie par 95.
07:55Donc, la fonction b,
08:01donc la fonction b, on rappelle que pour tout t,
08:03c'est b de t égale 95 fois 0.92 puissance t,
08:09et bien qu'est-ce qu'elle va être ?
08:11Comme on multiplie par un nombre positif,
08:13les variations ne changent pas,
08:14donc on avait une t qui est associée à 0.92 puissance t,
08:16c'est décroissante,
08:17on la multiplie par 95,
08:19ça va être 95 fois plus vite décroissante,
08:21donc elle est décroissante,
08:28sur l'intervalle 0.8.
08:32Donc on a bien une fonction décroissante,
08:34le nombre de bactéries va décroître.
08:39Ok, suivant.
08:40Calculer la quantité de bactéries initiales.
08:43Donc bactéries initiales,
08:44c'est le nombre de bactéries au tout départ,
08:46donc dès qu'on démarre le test.
08:48Donc lorsque l'on démarre le test,
08:50il s'est écoulé 0 heure.
08:53On voit que le nombre de bactéries est donné
08:55en fonction du temps t en heure par une fonction b.
08:57Donc au tout départ,
08:58il s'est écoulé 0 heure.
09:00Donc en réalité, il faut calculer b de 0.
09:03Donc ça donne, on prend notre fonction,
09:05on remplace le t par 0,
09:0695 fois 0,92 puissance 0,
09:11on remplace le t par 0,
09:13ce qui donne 95 fois,
09:16un nombre à la puissance 0 vaut toujours 1,
09:18ce qui donne 95.
09:20Et attention, on répond à la question,
09:22quelle est la quantité de bactéries initiales ?
09:24Et attention, on vous dit que le nombre de bactéries
09:26est donné en millions.
09:28Donc, au départ,
09:32il y a 95 millions de bactéries.
09:45Question 3,
09:46calculez la quantité de bactéries au bout d'une heure.
09:51Allez, hop, donc b de 1,
09:55au bout d'une heure,
09:56b de 1,
09:57donc c'est donc 95 fois 0,92 puissance 1,
10:02ce qui donne 95 fois,
10:04un nombre à la puissance 1,
10:05c'est lui-même 0,92.
10:08Et là, on prend la calculatrice,
10:13et on trouve 87,4.
10:18Donc ça veut dire qu'au bout d'une heure,
10:20je vous laisse faire la phrase,
10:21au bout d'une heure,
10:22allez, je l'écris,
10:23au bout d'une heure,
10:28il y a, il reste,
10:3287,4 millions de bactéries.
10:43Ok.
10:44Question 4,
10:45quel est le taux d'évolution du nombre de bactéries B
10:49entre les temps t égale 0 et t égale 1 ?
10:52Donc le taux d'évolution,
10:53c'est dire de combien il a hausse,
10:55ou de combien il a baisse.
10:56Donc là, on voit bien que,
10:58entre t égale 0 et t égale 1,
10:59on a une baisse,
11:00on est passé de 95 millions de bactéries
11:02à 87,4 millions de bactéries.
11:04Donc on sait que ça va être une baisse.
11:07Donc je rappelle la formule du taux en pourcentage,
11:09donc le taux d'évolution,
11:10c'est la valeur à l'arrivée,
11:12moins la valeur de départ,
11:14sur la valeur de départ,
11:16et on multiplie tout ça par 100
11:18si on veut le taux en pourcentage.
11:20Donc c'est égal à,
11:22donc la valeur à l'arrivée,
11:24il nous reste au bout d'une heure,
11:2587,4 millions de bactéries,
11:27moins au départ,
11:29on avait 95 millions,
11:31sur la valeur de départ,
11:3295 millions,
11:33égal, on calcule,
11:35pardon,
11:36si on veut en pourcentage,
11:37il ne faut pas oublier le fois 100,
11:39pour avoir en pourcentage.
11:41On calcule d'abord le numérateur,
11:44donc on effectue 87,
11:4687,4
11:49moins 95,
11:51ce qui donne moins 7,6,
11:56sur 95 fois 100,
12:01et si on tape tout ça,
12:02on trouve moins 8%.
12:09Et donc on fait une phrase,
12:11le moins ça veut bien dire
12:12que c'est une baisse,
12:13moins 8%,
12:14donc c'est une baisse
12:16de 8%,
12:17moins 8%,
12:18ça veut bien dire que c'est une baisse
12:20de 8%.
12:24Alors, petit aparté,
12:25pourquoi est-ce que l'on n'est pas surpris ?
12:27Parce qu'en fait,
12:28pour passer de b égale 0 à b égale 1,
12:30on a multiplié par 0,92,
12:33et on sait très bien que,
12:34là petit aparté,
12:35que lorsqu'on effectue une baisse de 8%,
12:37je vous rappelle,
12:38effectuer une baisse de 8%,
12:40revient multiplié par 1 moins 8 sur 100,
12:43et donc 1 moins 8 sur 100,
12:45c'est 1 moins 0,
12:468 sur 100,
12:47et ce qui donne 0,92.
12:49Donc lorsqu'on effectue une baisse de 8%,
12:51on multiplie par 0,92,
12:53donc c'est normal que l'on trouve bien une baisse de 8%.
12:56Et ensuite,
12:57calculer la quantité de bactéries
12:58au bout de 4 heures et 45 minutes.
13:02Alors là,
13:03il faut être prudent,
13:05on vous dit que le nombre de bactéries
13:07est exprimé en heures,
13:09donc il faut transformer
13:104 heures et 45 minutes en heures.
13:13Donc question 5,
13:154 heures et 45 minutes.
13:26Ça, il faut le transformer en heures.
13:28Donc on sait,
13:32vous savez que,
13:34déjà vous pouvez vous rassurer,
13:36vous savez que 30 minutes,
13:3930 minutes,
13:40c'est une demi-heure.
13:42Donc c'est une demi-heure.
13:45Soit une demi-heure,
13:47c'est 0,5 heure.
13:49Ça, vous le savez,
13:5130 minutes, c'est une demi-heure.
13:53Après, ce qui peut vous rassurer,
13:54c'est que 15 minutes,
13:56vous savez que c'est,
13:5915 minutes, c'est un quart d'heure.
14:01On dit qu'il s'est coulé un quart d'heure.
14:04Or un quart,
14:051 divisé par 4,
14:06c'est donc 0,25 heure.
14:08Tout ça, vous n'êtes pas obligé de l'écrire,
14:10ce que j'écris là.
14:11Ça, c'est vraiment pour voir comment on trouve.
14:13Et on sait que 45 minutes,
14:16vous avez déjà dû entendre ce mot,
14:18c'est 45 minutes,
14:2015 plus 15 plus 15,
14:22on dit que c'est trois quarts d'heure.
14:2415 minutes plus 15 minutes plus 15 minutes,
14:26c'est trois quarts d'heure.
14:2745 minutes, trois quarts d'heure.
14:29Soit trois quarts,
14:303 divisé par 4,
14:310,75 heure.
14:33Donc nous,
14:34comme on veut la quantité de bactéries
14:36au bout de 4 heures et 15 minutes,
14:37sur une copie,
14:38on écrit que c'est B de
14:414 heures,
14:420,75.
14:47C'est 4,75 heures.
14:504 heures 45 minutes,
14:51c'est 4,75 heures.
14:53Donc il faut calculer B de 4,75.
14:57On reprend la fonction.
14:59Ça va donner donc 95
15:04fois 0,92 puissance 4,75.
15:08Et on tape ça à la calculatrice.
15:1095 fois 0,92 puissance 4,75.
15:15Et là, ça tombe juste,
15:17ça donne 63 millions...
15:21Là, c'est la valeur exacte.
15:24Si vous voulez arrondir,
15:25on peut arrondir à 63,9.
15:27Si on arrondit,
15:28ça c'est au dixième près.
15:29Voilà.
15:32Donc au bout de 4 heures et 45 minutes,
15:34il y a environ
15:3563,9 millions de bactéries.
15:42Allez, exercice 3.
15:44La température grand T
15:46en degrés Celsius d'un gâteau
15:48que l'on laisse refroidir
15:49après l'avoir sorti du four,
15:51alors c'est masculin,
15:53donc après l'avoir sorti du four,
15:56diminue en fonction du temps T en minute.
15:59Donc cette fois-ci,
16:00le temps petit t est exprimé en minute,
16:03suivant la formule.
16:04Donc la température en fonction du temps
16:06grand T de T
16:07égale 81 fois 0,89 puissance T plus 19.
16:13Ok.
16:14Question 1.
16:15Quelle est la température du gâteau
16:17à la sortie du four ?
16:19Donc, dès que le gâteau sort du four,
16:22il s'est écoulé 0 minute.
16:24Donc en réalité,
16:25on calcule la température
16:26au bout de 0 minute,
16:27donc grand T de 0.
16:29On remplace,
16:30ça donne 81 fois 0,89
16:35à la puissance 0 plus 19,
16:38ce qui donne 81 fois
16:43un nombre à puissance 0 vaut 1,
16:45plus 19,
16:47et ce qui donne pile 100 degrés.
16:50Donc la température,
16:51c'est 100 degrés Celsius.
16:54Donc on fait une phrase,
16:55donc T de 0 on trouve 100,
16:57donc la température,
17:02donc le gâteau sort à une température
17:04de 100 degrés Celsius.
17:05C'est logique,
17:06vous savez qu'un four souvent,
17:07lorsqu'on fait cuire des choses au four,
17:08on les fait cuire entre 180 et 220 degrés.
17:11Donc, ok.
17:13Cette chaleur-là dans la température,
17:15dès qu'on le sort du four,
17:16le gâteau, oui,
17:17il peut atteindre une température
17:18très très chaude, 200 degrés.
17:21Alors, question 2.
17:22Quelle est la température du gâteau
17:23au bout de 10 minutes ?
17:25Donc au bout de 10 minutes,
17:26on calcule la température
17:27au bout de T égale 10 minutes.
17:29Donc ça donne 81 fois 0,9 puissance 10 plus 19,
17:37ce qui donne 81,
17:39donc on tape ça à la calculatrice,
17:40fois 0,9 puissance 10 plus 19,
17:47et ce qui donne environ,
17:49donc là c'est environ égale,
17:51environ égale à 47,2 degrés Celsius.
18:01Donc pareil, donc là,
18:02c'est une faute que je fais,
18:03donc on calcule T de 10,
18:0447,2 degrés Celsius,
18:06donc la réponse,
18:07donc au bout de 10 minutes,
18:09il fera 47, environ 47,
18:13donc environ 47,2 degrés Celsius.
18:22Question 3.
18:24A l'aide de la calculatrice,
18:26estimez le temps que doit attendre une personne
18:29pour que son gâteau soit sous
18:31les 36 degrés Celsius.
18:33Donc là, on va être sous les 36 degrés Celsius,
18:35il faut dire au bout de combien de temps.
18:37Donc là, il nous faut la calculatrice,
18:39donc on va aller sur le site NumWorks,
18:43ouvrir la calculatrice,
18:45on va aller sur le site NumWorks,
18:48on va aller sur le site NumWorks,
18:51vous prenez votre NumWorks,
18:53normalement vous avez dû l'acheter,
18:56NumWorks, plein écran,
18:58ceux qui ont une TI Casio qui marche,
18:59vous prenez votre calculatrice,
19:00donc on va dans le grapheur,
19:02ajouter un élément,
19:04on va dans le modèle,
19:05et on veut une fonction.
19:07Là, on va taper notre fonction,
19:08donc sur la calculatrice,
19:09ça dépend toujours de X,
19:10donc c'est pas grave,
19:11on remplace tous les X,
19:13tous les T,
19:14on les remplace par des X,
19:15donc ça donne 81 fois 0,9 puissance X,
19:18sur la calculatrice,
19:19donc 81 fois 0,9,
19:23la puissance, c'est la touche ici,
19:25X puissance Y,
19:26puissance de X,
19:30on met bien la flèche,
19:32il y a le X en trop,
19:33A effacé,
19:34la touche effacée,
19:35aller là, voilà, clair,
19:36ça c'est la touche effacée,
19:3880 fois 0,9 puissance X,
19:40plus 19,
19:45on affectue OK,
19:46donc là, après on va dans le graphique,
19:48si vous voulez voir,
19:49on voit bien que la température décroît,
19:51et on peut aller dans tableau,
19:54et on voit bien qu'au bout de 0 minutes,
19:56c'est ce qu'on a trouvé,
19:57il faisait 100 degrés,
19:58on descend,
19:59au bout de 10 minutes,
20:00on avait trouvé environ 47,2 degrés,
20:03donc ça, là, ça s'arrête à 10 minutes,
20:06et nous, on veut passer sous les 30,
20:07donc ce que l'on peut faire,
20:08c'est aller dans,
20:09vous voyez,
20:10régler l'intervalle,
20:11début 0,
20:12on n'en a aucune idée,
20:13je ne sais pas,
20:14on peut mettre 1000,
20:15on n'en a aucune idée,
20:16voilà,
20:17avec un pas de 1 minute,
20:18valider,
20:19et on regarde,
20:20allez,
20:21donc au bout de 9 minutes,
20:2310 minutes,
20:2411,
20:2512,
20:2613,
20:2714,
20:28voilà,
20:29ce sera au bout de la 15e minute,
20:30qu'on sera sous les 36 degrés,
20:31alors par contre,
20:32il faut bien rédiger cela sur une copie,
20:34donc on écrit,
20:36au bout de 14 minutes,
20:39donc,
20:40au bout de 14 minutes,
20:47la température du gâteau,
20:49la température du gâteau,
20:55est d'environ,
20:59qu'est-ce que l'on avait trouvé,
21:00au bout de 14 minutes,
21:01la température est d'environ 37,53 degrés,
21:05donc est d'environ 37,53 degrés Celsius,
21:10et ça,
21:11qu'est-ce que l'on rédige en rouge,
21:1337, c'est strictement plus grand que 36 degrés Celsius,
21:17donc au bout de 14 minutes,
21:19on est strictement plus grand que 36 degrés Celsius,
21:22et la deuxième phrase,
21:23pour montrer que l'on a compris,
21:24on écrit que,
21:26au bout,
21:27pourquoi ça fait ça là,
21:29au bout de 15 minutes,
21:36la température,
21:41du gâteau,
21:45est d'environ,
21:50et là on regarde,
21:52est d'environ 35,7 degrés Celsius,
21:56si on a rendu au deuxième,
21:57est d'environ 35,7 degrés Celsius,
22:01et 35,7 degrés Celsius,
22:03c'est strictement inférieur à 36 degrés Celsius.
22:09Donc la réponse,
22:10donc au bout de combien de temps il doit attendre,
22:12donc,
22:13il doit patienter 15 minutes,
22:15il doit patienter,
22:2015 minutes,
22:23pour que son gâteau soit sous les 36 degrés,
22:25pour que le gâteau,
22:29soit sous,
22:32les 36 degrés Celsius.
22:38Question 4,
22:39à l'aide de la calculatrice,
22:40estimez la température de la pièce où se trouve le gâteau,
22:42justifié.
22:44Alors ça on l'avait déjà vu en cours,
22:46on laisse le gâteau,
22:47on le sort du four,
22:48et on le laisse refroidir.
22:50On sait que si on laisse le gâteau longtemps,
22:53et bien le gâteau va prendre la température de la pièce.
22:58Donc il faut regarder,
23:00au bout d'un long moment,
23:02vers quoi la température va se stabiliser.
23:04Donc on regarde notre calculatrice,
23:06on voit qu'au bout de 15 minutes,
23:07le gâteau a une température d'environ 35 degrés.
23:10Donc on continue,
23:11voilà,
23:12si on descend,
23:13tac, tac, tac,
23:14là on peut observer qu'au bout de 50 minutes,
23:16le gâteau est à environ 19,41 degrés.
23:18Au bout d'une heure,
23:20environ 19,14 degrés.
23:23Regardez,
23:24après on descend,
23:25au bout d'une heure 20,
23:2680 minutes c'est normal,
23:27c'est environ 19,01 degrés.
23:29Deux heures,
23:30c'est 120 minutes.
23:31Regardez,
23:32au bout d'une heure 40,
23:3319,00.
23:35Si on tape 120,
23:36au bout de deux heures,
23:3719,0026 degrés.
23:39Donc on voit bien,
23:41et si vous voulez,
23:42vous pouvez même mettre trois heures,
23:43180 minutes.
23:44Regardez,
23:4519,0047 degrés.
23:47Donc on voit que le gâteau va avoir une température
23:52qui va se stabiliser vers les 19 degrés.
23:55Donc c'est-à-dire que dans la pièce,
23:57il fait environ 19 degrés Celsius.
23:59Donc on peut dire qu'au bout d'un long moment,
24:13la température du gâteau
24:21se stabilise vers les 19 degrés Celsius.
24:31Donc on peut estimer qu'il fait 19 degrés Celsius dans la pièce.
24:47Et voilà pour l'exercice.
24:56On passe au dernier exercice.
24:58On vous dit soit un nombre réel strictement positif,
25:00donc il n'y a pas de S,
25:02et soit XY de nombre réel.
25:15Recopiez et complétez les propriétés suivantes.
25:18Donc ça, on l'a vu dans le cours.
25:20A puissance 0, un nombre à la puissance 0 vaut toujours 1.
25:24A puissance X soit X puissance Y, on l'a déjà vu.
25:26Sinon vous reprenez le cours,
25:27vous vous souvenez des exemples que je vous ai fait.
25:29Par exemple, de 10 au carré fois 10 puissance 3,
25:32on a vu que 10 au carré c'était 10 fois 10,
25:35et 10 puissance 3 c'est 10 fois 10 fois 10.
25:38Et donc ça fait 10 fois 10 fois 10 fois 10,
25:40ça donne 10 puissance 5.
25:42Donc 10 au carré fois 10 puissance 3,
25:44on a trouvé 10 puissance 5,
25:45donc on retrouve la propriété,
25:46c'est A puissance X plus Y.
25:50Pareil pour la fraction,
25:51ça ne va pas, vous reprenez le cours.
25:53A puissance X soit A puissance Y,
25:54on l'a vu dans le cours,
25:55c'est A puissance X moins Y.
25:57Et la troisième,
25:58A puissance X parenthèse le tout puissance Y,
26:01lorsqu'on a une parenthèse,
26:02on multiplie les puissances,
26:03A puissance X fois Y.
26:05Hop, les propriétés sont à connaître.
26:08Et donc en dessous, simplifiez les nombres suivants.
26:11Donc 5 puissance 5,7 fois 5 puissance moins 3,
26:14donc là je vais dire que ça c'est la propriété 1,
26:162, 3, ça va être plus simple.
26:18Donc là on va appliquer la propriété 1 ici,
26:21donc ça donne 5 puissance 7,7 plus moins 13.
26:27On applique la propriété 1.
26:30Et donc ça donne 5,7 moins 13,
26:34ça donne moins 7,3,
26:41donc 5 puissance moins 7,3.
26:44On s'arrête là.
26:45Si dans l'énoncé on vous dit
26:47ne pas écrire de puissance négative,
26:49on reprend dans l'exercice 1,
26:51ça on peut dire que c'est 1 sur 5 puissance 7,3,
26:53petite parenthèse.
26:55Si on vous demande au contrôle,
26:57là comme la question 1,
26:59comme la question 2,
27:00écrire sans puissance négative les nombres suivants,
27:02là si on vous demande sans puissance négative,
27:04ça c'est pareil que ça.
27:06Petite aparté.
27:08Le suivant, 7 puissance 1,3,
27:10le tout à la puissance 12,
27:11là on va appliquer la propriété 3,
27:13donc on va multiplier,
27:14ça fait 7 puissance 1,3 fois 12,
27:18ce qui est égal à 7 puissance 1,3 fois 12,
27:21ça donne donc 12,3,
27:2212 fois 1,12,
27:24ce qui est égal à 7 puissance 12 divisé par 3,4.
27:28Donc on trouve 7 puissance 4.
27:32Le suivant,
27:33pour multiplier,
27:34là j'ai une fraction,
27:35là j'ai pas une fraction,
27:36mais on sait que 4 puissance moins 0,7,
27:374 c'est pareil que 4,
27:39puissance moins 0,7,
27:40c'est pareil que 4 puissance moins 0,7 divisé par 1,
27:43donc on multiplie les numérateurs,
27:45donc ça fait 4 puissance moins 0,7 fois 4 puissance 3,
27:50et on multiplie les dénominateurs sur 1 fois 4 puissance 0,5.
27:56Pour le numérateur,
27:58on applique la propriété 1,
28:00donc ça va donner 4 puissance moins 0,7 plus 3,
28:04propriété 1,
28:05sur le dénominateur 4 puissance 0,5,
28:09ce qui donne 4 puissance 2,3 sur 4 puissance 0,5,
28:17et là pour terminer,
28:18on applique la propriété 2,
28:204 puissance 2,3 sur 4 puissance 0,5,
28:22c'est 4 puissance 2,3 moins 0,5,
28:26ce qui donne 4 puissance 1,8.
28:35Ensuite le petit d,
28:38on démarre pour le numérateur,
28:406 puissance 4,8 fois 6 puissance 1,
28:42on applique la propriété 1,
28:44donc pour le numérateur ça donne 6 puissance 4,8 plus 1,3,
28:49et pour le dénominateur,
28:51on applique la propriété numéro 3,
28:53donc ça donne 6 puissance 1,6 fois 5,
28:58ce qui donne 6 puissance 6,1 sur 6 puissance 1,6 fois 5,8,
29:11et ensuite là on applique la propriété numéro 2,
29:14donc 6 puissance 6,1 sur 6 puissance 8,
29:16c'est 6 puissance 6,1 moins 8,
29:19ce qui donne 6 puissance moins 1,9.
29:23On s'arrête là,
29:25par contre si on vous demande d'écrire ce nombre sans puissance négative,
29:28si on vous demande sans puissance négative,
29:30ça on écrit que c'est 1 sur 6 puissance 1,9,
29:33ça c'est si on vous demande sans puissance négative.
29:39Et le dernier,
29:41alors le petit e,
29:437 puissance 4,5 fois 7,
29:45donc lui attention ce n'est pas un piège,
29:47il faut écrire 7 sous la forme d'une puissance,
29:507 puissance 4,5 fois 7,
29:54en fait 7 c'est quoi comme nombre ?
29:56Si je le mets avec une puissance 7,
29:58c'est pareil que 7 puissance 1,
30:027 puissance 1 c'est 7,
30:06donc en fait 7 c'est 7 puissance 1,
30:08et donc on applique la propriété 1,
30:10ça donne 7 puissance 4,5 plus 1,
30:14ce qui donne 7 puissance 5,5,
30:16donc attention ici,
30:187 il y a bien une puissance,
30:19il n'est pas tout seul,
30:20ce n'est pas 0,
30:21vous savez que 7 puissance 0 vaut 1,
30:23ce n'est pas 7 puissance 0,
30:257 c'est 7 puissance 1,
30:28donc attention,
30:29on trouve à la fin 7 puissance 5,5,
30:31attention à lui.
30:34Question 3,
30:35écrire sous la forme d'une seule puissance de 3,
30:37donc tous les nombres à une puissance de 3,
30:39le nombre suivant,
30:41donc le premier c'est bon,
30:43j'ai une puissance de 3,
30:44j'ai 3 puissance moins 2,15,
30:46fois 9 puissance 2,1,
30:489 c'est quel nom de 9 ?
30:519,
30:52là le 9 qui est ici,
30:54je le remplace par 3 au carré,
30:583 au carré c'est 9,
30:59donc ça donne 3 au carré,
31:009 puissance 2,1,
31:02donc le tout puissance 2,1,
31:063 au carré,
31:073 fois 3,9,
31:08donc 9 puissance 2,1,
31:09c'est pareil que 3 au carré,
31:10le tout puissance 2,1,
31:13fois,
31:14parenthèse,
31:150,5,
31:1627 c'est quel nombre ?
31:18C'est 3 au cube,
31:223 au cube en effet,
31:233 fois 3 fois 3,
31:243 fois 3,
31:259,
31:269 fois 3,
31:2727,
31:28donc là j'écris tous les nombres sous une puissance de 3 déjà,
31:30on va simplifier les calculs,
31:32donc ça donne 3 puissance moins 2,15,
31:35fois,
31:37on applique la propriété numéro 3,
31:41qui est juste là,
31:42donc ici 3 au carré,
31:44le tout à la puissance 2,1,
31:46propriété numéro 3,
31:47ça donne 3 puissance 2 fois 2,1,
31:51fois,
31:523 et pareil,
31:53propriété numéro 3 encore,
31:55ça va être 3 fois 0,5,
31:59ce qui donne 3 puissance moins 2,15,
32:04fois 3 puissance 4,2,
32:07fois 3 puissance 1,5,
32:11et là pour terminer,
32:13on applique la propriété numéro 1,
32:15donc on va additionner les puissances,
32:17donc ça donne 3 puissance moins 2,15,
32:20plus 4,2,
32:22plus 1,5,
32:24et ça donne 3 puissance 3,55.
32:46Question 4,
32:49Soit f, la fonction définie sur 0 plus l'infini,
32:53par f de x,
32:54est égale à x puissance 5,4,
32:56moins x puissance 4,4.
32:58Montrez que f de x est égale à ça,
33:01puis calculez l'image de 2 par f.
33:03Donc comme l'année dernière,
33:05on va nous partir du résultat final.
33:07Donc on écrit x puissance 4,4,
33:11fois x moins 1,
33:14égal, on effectue la simple distributivité,
33:21donc c'est x puissance 4,4,
33:23fois x,
33:25donc ça c'est un x,
33:27moins x puissance 4,4,
33:31fois 1,
33:34égal,
33:36donc là c'est facile,
33:37fois 1 donc ça donne x puissance 4,4,
33:40et là attention à ne pas aller trop vite,
33:42ça c'est x puissance 4,4,
33:44fois,
33:45et c'est comme le nombre 7 tout à l'heure,
33:47je vous l'ai dit tout à l'heure,
33:49c'est 7 puissance 1,
33:50donc x,
33:51c'est pareil que x à la puissance 1,
33:56x puissance 1 c'est x,
33:58donc là,
33:59on va appliquer la propriété 1 des puissances,
34:01la propriété numéro 1 des puissances,
34:03celle là,
34:04donc x puissance 4,4,
34:06fois x puissance 1,
34:08j'applique la propriété des puissances,
34:09c'est donc x puissance 4,4,
34:11plus 1,
34:13moins x puissance 4,4,
34:16et on trouve bien que c'est x puissance 5,4,
34:20moins x puissance 4,4,
34:23et ça on constate bien que c'est notre fonction f,
34:28donc ça c'est bien f de x,
34:31donc on part du résultat,
34:32on effectue la simple distributivité,
34:34attention x c'est pareil que x puissance 1,
34:37puissance 1,
34:38on applique la propriété des puissances,
34:40et on retrouve notre fonction f,
34:43et ensuite on vous demande de calculer l'image de 2 par f,
34:46donc f de 2,
34:48donc là vous prenez soit cette forme là,
34:50soit cette forme là,
34:51peu importe,
34:52vous avez la calculatrice,
34:53donc vous prenez celle que vous voulez,
34:55donc allez on va prendre celle de l'unissonné,
34:57donc 2 puissance 5,4,
34:59moins 2 puissance 4,4,
35:02ou que vous prenez cette forme là,
35:05ou celle là,
35:06c'est la même chose,
35:07donc on peut faire les deux,
35:09donc là on prend la calculatrice,
35:12on ne fait pas à sa tête,
35:142 puissance 5,4,
35:18moins 2 puissance 4,4,
35:25ça donne exactement 21,11213,
35:32et si on avait pris l'autre forme,
35:34on trouve le même résultat,
35:35c'est la fonction qui s'écrit différemment,
35:37ou vous aurez pu écrire f de 2,
35:39égal 2 puissance 4,4,
35:42on rappelle entre le x là,
35:45et la parenthèse,
35:46il y a un fois caché,
35:47donc c'est 2 puissance 2,4,
35:49fois 2 moins 1,
35:52donc ça aurait donné 2 puissance 4,4,
35:55fois 2 moins 1,
35:572 moins 1 c'est 1,
35:59donc ça aurait donné 2 puissance 4,4,
36:08et hop, on tape ça,
36:14et on trouve 21,11213,
36:20voilà donc soit celle là,
36:22soit celle là,
36:23c'est le même résultat que l'on obtient,
36:24attention là vous savez qu'il y a un x,
36:26et on a terminé la correction
36:28de ce sujet d'entraînement.