Première spécialité - Vecteurs colinéaires
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00:00 On va passer au dernier chapitre de l'année.
00:05 L'équation cartésienne de droite et de cercle.
00:07 Dans la partie 1, ce sont des rappels de la place de seconde sur les vecteurs collinaires.
00:12 On rappelle un vecteur collinaire.
00:14 On ne dit pas un, deux vecteurs.
00:16 Donc définition, deux vecteurs u et v sont collinaires.
00:20 Si et seulement si, ils ont la même direction.
00:23 Le sens, on s'en fiche.
00:25 C'est ce qu'on veut dire.
00:26 Remarque, le sens et la norme.
00:27 La norme, c'est la taille du vecteur.
00:29 Ils n'interviennent pas.
00:31 Une petite remarque, le vecteur nul est collinaire à tous les vecteurs.
00:34 Deux vecteurs collinaires ont la même direction.
00:37 Si on fait une illustration à main levée,
00:39 si je trace un vecteur u,
00:41 et si je trace ici un vecteur v,
00:45 ces deux vecteurs n'ont pas le même sens.
00:48 Il y en a un qui va plus vers le haut, l'autre plus vers le bas,
00:50 mais ça on s'en fiche.
00:51 Pour être collinaire, il faut qu'ils aient la même direction.
00:53 Donc tous les deux, les deux vecteurs là,
00:55 ils ont exactement la même direction.
00:58 Donc là, dans ce cas-ci,
01:00 on dit que u et v sont collinaires,
01:02 car ils ont la même direction.
01:04 Donc u et v ici sont collinaires.
01:06 Donc petit aparté,
01:12 on avait déjà vu les vecteurs orthogonaux.
01:16 Ça, u et v ici,
01:18 les deux vecteurs sont orthogonaux.
01:21 Donc ça, on l'avait déjà vu collinaire,
01:23 c'est-à-dire la même direction.
01:24 Donc dans votre tête,
01:25 attention, je mets deux gros guillemets,
01:27 il faut imaginer collinaire,
01:29 c'est parallèle pour les vecteurs.
01:32 Donc on dit que deux droites sont parallèles,
01:35 deux droites parallèles.
01:36 Pour les vecteurs, on ne dit pas parallèle pour des vecteurs,
01:39 on dit collinaire pour des vecteurs.
01:41 Et pareil pour des droites,
01:42 on dit perpendiculaire pour des droites.
01:44 Pour des vecteurs, on ne dit pas perpendiculaire,
01:46 on dit orthogonaux.
01:48 Donc voilà, si vous avez un petit souci,
01:50 vous pensez dans votre tête,
01:52 droite parallèle, vecteur collinaire.
01:54 Donc quand on vous dit que les vecteurs sont collinaires,
01:57 ça signifie qu'ils ont la même direction,
01:59 donc dans votre tête, vous les imaginez,
02:00 et attention, entre guillemets, parallèles.
02:02 Mais on n'emploie pas le mot parallèle pour des vecteurs,
02:04 on dit bien collinaire pour des vecteurs.
02:06 Mais dans votre tête, vous imaginez des vecteurs,
02:08 voilà, comme ça.
02:09 Donc là, u et v sont collinaires.
02:10 Pareil, si je trace un vecteur u comme ça,
02:13 et un vecteur v comme ça,
02:15 ils sont collinaires,
02:16 car ils ont la même direction horizontale,
02:18 tous les deux sont horizontaux,
02:20 donc ils sont collinaires,
02:21 donc u et v ici sont collinaires.
02:23 Pareil, on peut refaire, par exemple,
02:30 ce vecteur u ici, et le vecteur v ici,
02:34 ils sont aussi collinaires,
02:36 car ils ont la même direction qui est verticale,
02:39 tous les deux sont verticaux,
02:40 le sens, on s'en fiche,
02:41 u va vers le haut, v vers le bas, on s'en fiche.
02:43 Ce qui compte, c'est la direction,
02:44 donc ils ont tous les deux une direction verticale,
02:46 donc ils sont collinaires,
02:47 donc là, ils sont collinaires,
02:49 u et v sont collinaires,
02:52 et enfin, un exemple où ils ne sont pas,
02:57 donc si j'ai un vecteur u comme ça,
02:59 et un vecteur v comme ça,
03:01 ils ne sont pas du tout collinaires,
03:03 donc ici, u et v ne sont pas collinaires.
03:07 Maintenant, on va montrer
03:15 comment faire pour prouver
03:17 que des vecteurs sont collinaires.
03:18 On se souvient, lorsqu'on avait
03:20 deux vecteurs u et v,
03:23 si j'ai leurs coordonnées
03:24 u d'axis x d'ordonnée y
03:26 et v d'axis x' d'ordonnée y',
03:29 pour prouver que u et v sont orthogonaux,
03:32 on calculait leur produit scalaire,
03:34 u scalaire v,
03:35 et il fallait montrer
03:36 que leur produit scalaire valait 0.
03:37 Si leur produit scalaire valait 0,
03:39 les vecteurs u et v étaient orthogonaux.
03:41 Et je rappelle que le produit scalaire,
03:42 on multiplie, on faisait x fois x'
03:44 plus les ordonnées y fois x'.
03:47 Donc là, on va voir que pour prouver
03:49 que des vecteurs sont collinaires,
03:51 on va voir qu'il y a
03:53 deux propriétés,
03:55 deux façons de faire.
03:56 Soit la première méthode,
03:57 c'est coordonner les collinérités.
03:59 Donc la première méthode,
04:01 c'est de prouver que les coordonnées
04:03 sont proportionnelles.
04:04 Et on va voir que la deuxième méthode,
04:06 c'est en utilisant le déterminant.
04:09 Donc la première méthode,
04:11 pour prouver que des vecteurs sont collinaires.
04:13 Donc deux vecteurs u et v sont collinaires,
04:14 c'est-à-dire deux vecteurs
04:15 en la même direction,
04:16 donc on voit peut-être
04:17 où il est machiné parallèle.
04:18 Si et seulement si,
04:19 il existe un nombre LK
04:20 tel que le vecteur u
04:21 c'est égal à k fois le vecteur v.
04:23 Donc ça veut dire que le vecteur u
04:25 est un agrandissement du vecteur v.
04:28 Remarque, deux vecteurs u et v sont collinaires,
04:30 si et seulement si,
04:31 leurs coordonnées sont proportionnelles.
04:33 Et c'est ça qu'on surlie.
04:34 Donc ce que vous, vous devez retenir,
04:35 c'est que deux vecteurs sont collinaires
04:36 si leurs coordonnées sont proportionnelles.
04:38 Et coordonnées proportionnelles,
04:39 c'est-à-dire qu'il existe un nombre LK
04:41 tel que le vecteur u
04:42 ce soit égal à k fois le vecteur v.
04:44 Donc on va faire des applications.
04:46 Dans chaque cas,
04:47 déterminer si les vecteurs u et v
04:49 sont collinaires en utilisant cette méthode.
04:51 Donc là, ce que je fais en vert,
04:53 tout ce que j'écris en vert,
04:54 c'est au brouillon.
04:55 Donc si on regarde,
04:56 là pour passer de 7 à 21,
04:58 on multiplie par 3.
04:59 Je le redis,
05:00 tout ce que je fais en vert,
05:01 c'est au brouillon.
05:02 Et pour passer de -2 à -6,
05:04 je multiplie par 3.
05:06 Ce que j'écris en bleu,
05:07 c'est ce qu'on écrit sur un copier.
05:08 Qu'est-ce que l'on constate ?
05:10 On constate que le vecteur v
05:13 est donc 3 fois plus...
05:16 C'est 3 fois le vecteur u.
05:18 C'est 3 fois le vecteur u.
05:21 En effet, si je prends le vecteur u,
05:22 et que je multiplie par 3 ses coordonnées,
05:24 u fois 3,
05:25 donc 7 fois 3, 21,
05:26 -2 fois 3, ça donne -6.
05:28 Donc le vecteur v,
05:30 c'est 3 fois le vecteur u.
05:31 C'est ce qu'on a ici.
05:33 Donc, on en déduit que les coordonnées
05:36 sont proportionnelles.
05:37 Donc u et v, ça signifie qu'ils sont collinaires.
05:42 Ce que j'écris en bleu,
05:43 c'est ce qu'il faut mettre sur une copie.
05:45 On a le vecteur v, c'est 3 fois le vecteur u,
05:47 donc u et v sont collinaires.
05:49 Exemple suivant.
05:51 Ce que je mets en vert, c'est au brouillon,
05:53 pour passer de -5 à 10.
05:55 On multiplie par -2.
05:57 Et donc là, 7,13, on constate que
06:01 si on multiplie par -2,
06:04 on ne tombe pas sur 7.
06:06 Donc on voit qu'ils ne sont pas collinaires.
06:08 Comment le rédiger ?
06:09 On écrit que -5 fois -2, ça donne 10.
06:14 Or, là on met bien "or",
06:16 7,13, si je le multiplie par -2,
06:20 ça donne -14,26.
06:23 Et -14,26 n'est pas égal à -7.
06:27 Donc ici, u et v ne sont pas collinaires.
06:31 Donc u et v ne sont pas collinaires.
06:37 Alors, le petit 3, pour passer de 1 à 1,
06:40 on multiplie par 1.
06:41 Pour passer de 4 à 4, on multiplie par 1.
06:43 Donc on constate que le vecteur u,
06:45 c'est donc égal à une fois le vecteur v.
06:48 Pardon, ça j'aurais dû le mettre en vert, tout ça.
06:51 Ça c'est au brouillon, en vert.
06:53 Donc pour passer de 1 à 1 fois 1,
06:55 de 4 à 1 fois...
06:56 Donc sur votre copie, on écrit que le vecteur u,
06:58 c'est égal à une fois le vecteur v.
07:00 Donc, on va mettre -14,26.
07:04 Donc, u et v sont collinaires.
07:08 Bon, c'est même encore plus fort que ça.
07:15 Pour u égale à 1 fois v,
07:17 la petite parenthèse, ça signifie que le vecteur u
07:19 est égal au vecteur v.
07:21 Donc en réalité, c'est encore plus fort que collinaires.
07:23 Ils sont même égaux.
07:24 Donc là, u et v sont égaux, en fait.
07:26 Ce sont des vecteurs égaux.
07:28 Encore plus forts que collinaires.
07:30 OK, celui d'en dessous.
07:32 On regarde, pour passer de 6 à 12,
07:35 on multiplie par 2.
07:37 Pour passer de 2 à 5,
07:39 on ne multiplie pas par 2.
07:40 Donc pareil, sur une copie,
07:42 on écrit que 6 fois 2, ça donne 12.
07:45 Or, le 2 qui est ici,
07:47 si je le multiplie par 2, ça me donne 4.
07:50 Ce qui n'est pas égal à 5.
07:52 Donc, u et v ne sont pas collinaires.
07:58 (Bruits de mousse)
08:00 Hop, j'ai un peu effacé pour faire de la place.
08:08 Allez, le suivant.
08:10 Donc là, on ne se prend pas à la tête.
08:12 On part de ce vecteur v,
08:13 donc pour passer de 3 à 15,
08:15 on multiplie par 5.
08:16 En effet, 3 fois 5, 15.
08:18 Merde, ça, il faut que je fasse envers ce brouillon.
08:21 Donc 3 fois 5, 15.
08:24 Et pareil, dans l'autre sens,
08:25 on constate que 2,5,
08:27 si je le multiplie par 5,
08:29 ça donne 12,5.
08:30 Ce qui ne donne pas 11.
08:32 Donc qu'est-ce qu'on marque sur une copie ?
08:33 On n'écrit que 3 fois 5,
08:35 c'est égal à 15.
08:37 Or, 2,5,
08:39 si je le multiplie par 5,
08:40 ça vaut 12,5.
08:42 Ce qui n'est pas égal à 11.
08:44 Donc les coordonnées ne sont pas proportionnelles.
08:46 Donc, u et v ne sont pas collinaires.
08:52 Et le dernier,
08:54 pour passer de -3,5 à 3,5,
08:57 on multiplie par -1.
08:59 Et pour passer de 4,2 à -4,2,
09:01 on multiplie par -1.
09:03 Donc sur une copie,
09:04 on n'écrit qu'en réalité que le vecteur v,
09:07 c'est le vecteur u
09:09 que l'on a multiplié par -1.
09:10 Donc c'est -1 fois le vecteur u.
09:13 En fait, c'est -1u,
09:14 donc c'est -1.
09:16 Et le dernier,
09:17 pour passer de -3,5 à 3,5,
09:19 c'est -1u,
09:20 donc c'est -c=-u.
09:23 Donc ici, u et v sont collinaires.
09:28 Donc ça, c'est la première méthode
09:32 de vecteurs sont collinaires,
09:33 c'est seulement si leurs coordonnées sont proportionnelles.
09:35 C'est ce qu'on vient de faire là.
09:37 La deuxième méthode,
09:38 c'est avec le déterminant.
09:40 Pour les vecteurs orthogonaux,
09:41 on avait utilisé le produit scalaire.
09:43 Pour vecteurs collinaires,
09:44 on utilise le déterminant.
09:45 Donc on dit soit u^6x,
09:47 c'est l'ordonnée grecque,
09:48 donc on avait 6x' et d'ordonnées grecques'
09:51 deux vecteurs du plan,
09:53 munis d'un repère autonome et origine.
09:55 Le déterminant des vecteurs u et v,
09:57 c'est notre det,
09:58 donc pour déterminer,
09:59 c'est det de vecteur u, vecteur v,
10:01 et c'est un nombre qui est égal à
10:03 déterminant de u^x,
10:04 c'est égal à x*grecqe'-y*x'.
10:07 Alors, comment retenir cette formule ?
10:09 Si là, regardez,
10:10 j'ai mon vecteur u et mon vecteur v,
10:13 donc en réalité,
10:14 pour calculer un déterminant,
10:15 je pars d'ici,
10:16 je pars de là,
10:17 donc je fais x*y',
10:20 c'est ce qui est écrit là,
10:21 je reviens en arrière,
10:22 ça fait un -y*x'.
10:26 Je refais le geste,
10:28 regardez, on refait le geste,
10:33 on part de là, x*y',
10:36 - on revient en arrière, y*x'.
10:40 Voilà comment on calcule le déterminant
10:42 de deux vecteurs,
10:43 et on vous dit que deux vecteurs sont collinaires,
10:46 si et seulement si,
10:47 leur déterminant vaut 0.
10:49 Donc on a l'équivalent suivant,
10:50 u et v sont collinaires,
10:51 si et seulement si,
10:52 là le symbole c'est dire si et seulement si,
10:54 leur déterminant vaut 0.
10:57 Donc ici, on vous demande,
10:58 en utilisant le déterminant,
10:59 de dire dans chaque cas
11:00 si les vecteurs u et v sont collinaires ou pas.
11:02 Donc là, on va calculer le déterminant
11:04 de u avec v,
11:06 on vous demande d'utiliser le déterminant.
11:08 Si on ne vous demandait pas le déterminant,
11:10 on constate que 2*3=6,
11:13 et on constate que -1.13*3=-1.13,
11:15 ça fait -3.39.
11:17 Donc si on vous demandait son déterminant,
11:19 on aurait écrit sur une copie
11:20 que le vecteur v,
11:21 c'est 3*le vecteur u.
11:23 Donc u et v sont collinaires.
11:25 Donc là,
11:26 comme on vous demande d'utiliser le déterminant,
11:27 on va calculer le déterminant,
11:29 mais on vient de trouver qu'ils sont collinaires,
11:31 donc on doit trouver un déterminant qui vaut 0,
11:33 en théorie.
11:35 Donc allez, on applique la formule.
11:37 Donc le déterminant, je pars de là,
11:38 donc ça fait -1.13*6,
11:42 je reviens en arrière,
11:44 donc j'ai un - qui apparaît, -,
11:46 et on calcule ici 2*-3.39.
11:52 On démarre toujours par les multiplications,
11:55 ici et ici.
11:57 Donc -1.13*6,
12:02 ça donne -6.78,
12:08 j'ai le - en rouge ici,
12:10 on effectue l'autre multiplication,
12:12 2*-3.39,
12:14 ça donne -6.78.
12:18 Donc ça donne -6.78,
12:22 -+6.78,
12:25 ce qui donne 0.
12:27 Donc le déterminant vaut 0,
12:29 donc u et v sont collinaires.
12:34 Et pour le petit b,
12:41 pareil, on va calculer le déterminant de u et de v ici.
12:45 Donc je refais le geste,
12:48 on part de là -7*-1.8,
12:53 attention, on revient en arrière,
12:56 donc -1.3*10.
13:04 Ce qui donne,
13:06 on démarre par les multiplications,
13:08 -7*-1.8,
13:13 ça donne 12.6,
13:16 -1.3*10,
13:21 ça donne -13,
13:25 et - et -+,
13:27 donc ça donne 12.5+13,
13:29 ce qui donne 0.4.
13:31 Attention, il faut bien conclure,
13:33 0.4, on écrit que le déterminant n'est pas égal à 0,
13:37 ça il faut l'écrire,
13:38 le déterminant n'est pas égal à 0,
13:40 donc u et v ne sont pas collinaires.
13:45 Donc là je n'ai pas la phrase,
13:47 mais u et v ne sont pas collinaires.
13:49 Alors à quoi ça nous sert,
13:51 les vecteurs collinaires ?
13:52 Ça sert surtout à deux choses,
13:54 ça sert à prouver que des droites sont parallèles,
13:57 et ça sert à prouver que des points sont alignés.
14:01 Donc on va voir la première application
14:04 sur les vecteurs collinaires.
14:06 Donc on vous dit soit a, b, c, i, d,
14:08 les quatre points distincts du plan,
14:09 donc les droites,
14:10 attention sur les notations,
14:11 une droite, ça se note entre parenthèses,
14:14 je rappelle les notations,
14:15 une droite, la droite a, b,
14:17 ça se note entre parenthèses,
14:18 le segment a, b,
14:21 ça se note entre crochets.
14:23 Je rappelle que la différence entre une droite,
14:25 si j'ai un point a et un point b,
14:27 une droite, ça se prolonge à l'infini,
14:29 alors qu'un segment a, b,
14:31 ça va du point a au point b.
14:33 Donc il faut faire attention, un segment,
14:36 ça s'arrête,
14:37 une droite, c'est infini.
14:39 Et on a vu, attention à la notation d'un vecteur,
14:42 le vecteur a, b, c'est a, b avec une flèche.
14:44 Donc il ne faut pas confondre les trois notations,
14:46 le vecteur a, b,
14:47 une droite, c'est entre parenthèses,
14:48 un segment, le note entre crochets.
14:51 Donc on vous dit que les droites,
14:52 donc a, b, c, d, entre parenthèses,
14:54 sont parallèles,
14:55 si et seulement si les vecteurs a, b, c, d,
14:57 sont collinaires.
14:59 Donc sur un schéma d'illustration,
15:00 si j'ai un point a, un point b,
15:02 un point c, un point d,
15:04 donc là,
15:06 tac, tac,
15:07 donc là j'ai a, b, perpendiculaire à la droite c, d.
15:12 Donc si les droites a, b, c, d sont perpendiculaires,
15:17 ça signifie que les vecteurs a, b,
15:19 donc le vecteur a, b, on le trace,
15:21 et le vecteur c, d,
15:24 sont collinaires,
15:25 les deux vecteurs ont la même direction.
15:27 Donc droite parallèle,
15:28 ça signifie que les vecteurs a, b, c, d sont collinaires.
15:31 Et donc si la droite a, b,
15:34 et la droite c, d ne sont pas parallèles,
15:38 donc ne sont pas parallèles,
15:44 donc si on fait un schéma,
15:45 point a, point b,
15:47 je trace une droite a, b, point c, point d,
15:51 on va changer,
15:58 donc si les droites ne sont pas parallèles,
16:00 je sépare point c, point d,
16:02 je trace la droite c, d,
16:04 donc une droite ça se prolonge à l'infini,
16:06 donc si les droites ne sont pas parallèles,
16:08 alors le vecteur a, b,
16:10 et le vecteur c, d,
16:12 on constate bien qu'ils n'ont pas du tout la même direction,
16:14 alors le vecteur a, b, c, d ne sont pas collinaires.
16:17 Donc droite parallèle,
16:18 vecteur a, b, vecteur c, d collinaires,
16:20 donc application 3,
16:24 donc on vous demande de placer déjà les points,
16:28 et on va déjà tracer les droites,
16:30 donc je place le point a6-2 ordonné 1,
16:33 le point a est ici,
16:34 le point b a6 1 ordonné 0,
16:36 le point b est là,
16:37 point c -1, 3,
16:39 le point c est ici,
16:40 le point d 5,
16:42 ah il n'y a pas la place pour a6, 5,
16:45 donc là on va prolonger,
16:47 donc là on va prolonger un petit peu,
16:49 ici 5 ordonné 1,
16:52 on trace les droites a, b, c, d,
16:55 une droite ça se prolonge à l'infini,
16:57 sinon ça s'appelle un segment,
16:59 donc la droite a, b, entre parenthèses,
17:01 et je trace la droite c, d, entre parenthèses,
17:05 et donc on vous demande,
17:07 les droites a, b, c, d sont-elles parallèles ?
17:09 Donc pour ce faire,
17:10 on va calculer les coordonnées du vecteur a, b,
17:13 et on va calculer les coordonnées du vecteur c, d.
17:17 Si les vecteurs a, b, c, d sont collinaires,
17:20 alors les deux vecteurs ont la même direction,
17:22 donc ça signifiera que les droites sont parallèles.
17:25 Donc on y va,
17:26 calculons les coordonnées du vecteur a, b,
17:28 donc on rappelle la propriété,
17:30 c'est la psis de b - la psis de a,
17:32 attention il n'y a pas de division,
17:34 ce n'est pas une fraction,
17:36 et l'ordonnée de b - l'ordonnée de a,
17:39 attention, la psis en e,
17:41 l'ordonnée en bas.
17:43 Donc le vecteur a, b, a pour coordonner la psis du point b,
17:47 donc b son a, psis c, 1,
17:49 moins la psis de a, -2,
17:52 et l'ordonnée de b, 0, -1.
17:55 Donc le vecteur a, b,
18:01 a pour ordonner 1, - -2, 1 + 2, 3,
18:07 et ordonnée -1.
18:09 On vérifie toujours graphiquement le vecteur a, b,
18:12 je pars de a,
18:14 j'avance bien de 3 unités en a, psis,
18:17 et en ordonnée je descends d'une unité,
18:19 donc ordonnée -1,
18:20 donc c'est cohérent graphiquement,
18:21 toujours vérifier graphiquement si c'est cohérent.
18:24 Ensuite on calcule les coordonnées du vecteur c, d,
18:27 donc le vecteur c, d c'est donc la psis de d - la psis de c,
18:30 l'ordonnée de d - l'ordonnée de c,
18:32 attention il n'y a pas de division,
18:34 donc le vecteur c, d,
18:36 ça nous donne la psis du point d, d,
18:38 donc la psis 5 - la psis de c - 1,
18:42 et l'ordonnée de d 1 - l'ordonnée de c 3.
18:46 Donc on trouve que pour le vecteur c, d,
18:48 a, psis simplement -1, donc 6, -2.
18:52 On vérifie graphiquement c, d,
18:53 j'avance de 1, 2, 3, 4, 5, 6 en a, psis,
18:57 et en ordonnée on descend de 2,
18:59 donc ordonnée -2.
19:01 Et donc est-ce que ces deux vecteurs sont-ils collinaires ?
19:04 Donc là on peut faire soit la méthode des coordonnées proportionnelles,
19:08 soit avec le déterminant.
19:09 Ici on constate que ça va vite avec les coordonnées proportionnelles,
19:12 donc au brouillon, ça c'est vraiment au brouillon,
19:14 pour passer de 3, 6, je multiplie par 2,
19:16 pour passer de -1, -2, je multiplie par 2,
19:19 donc sur une copie on écrit donc le vecteur c, d,
19:22 le vecteur c, d, on constate que c'est deux fois le vecteur a, b,
19:27 le vecteur c, d, c'est deux fois le vecteur a, b.
19:31 Si j'ai le vecteur a, b et que je le multiplie par 2,
19:33 je vais obtenir le vecteur c, d.
19:35 Donc c, d = 2 fois le vecteur a, b.
19:37 Donc on en conclut que les vecteurs a, b et c, d sont collinaires.
19:48 Et donc là attention, comme les vecteurs sont collinaires,
19:55 ça signifie qu'ils ont la même direction,
19:57 donc les droites, et attention, les droites ça se note entre parenthèses,
20:01 donc les droites a, b et c, d, sont parallèles.
20:08 Donc là il faut faire attention au vocabulaire,
20:10 c'est collinaire pour des vecteurs, parallèle pour des droites.
20:15 Question 2, cette fois-ci on nous dit,
20:21 les droites a, b, u, f sont-elles parallèles ?
20:23 Donc je viens de placer a, b,
20:25 je trace la droite a, b qui se prolonge à l'infini,
20:28 et je place le point e, 2abcise-2ordonnées,
20:31 et le point 0,5abcise-2ordonnées qui est ici,
20:33 et je trace la droite e, f.
20:35 Et on vous demande, est-ce que ces deux droites sont-elles parallèles ?
20:38 Donc on a déjà calculé les coordonnées du vecteur a, b tout à l'heure,
20:41 que l'on avait trouvé 3, -1,
20:43 et donc on va calculer les coordonnées du vecteur e, f,
20:46 donc je vous rappelle que c'est l'abcise de f, moins l'abcise de e,
20:49 l'ordonnée de f, moins l'ordonnée de e.
20:53 Donc, le vecteur e, f, a pour abcise,
20:58 donc l'abcise de f, f sans abcise c'est 0,5,
21:01 moins l'abcise de e, c'est 2,
21:04 et l'ordonnée de f c'est -1,
21:06 moins l'ordonnée de e, moins 2.
21:09 Donc le vecteur e, f, a pour abcise 0,5,
21:14 moins 2 ça donne -1,5,
21:16 et -1, -1, -2, -1, +2 ça donne 1.
21:21 On vérifie toujours graphiquement,
21:24 donc graphiquement, je recule de 1,5 en abcise,
21:27 et je monte de 1 en ordonnée,
21:30 donc c'est bien cohérent graphiquement.
21:32 Il reste à savoir est-ce que les deux vecteurs sont-ils collinaires,
21:36 donc est-ce que les droites sont parallèles,
21:39 donc pour passer ici au brouillon de 1 à -1,
21:44 je multiplie par -1,
21:47 1 fois -1 ça donne -1,
21:48 par contre -1,5, si je le multiplie par -1,
21:52 ça ne me donne pas 3.
21:54 Donc sur une copie, on rédige,
21:58 on rédige bien, donc voici ce que je mets sur une copie,
22:01 1 fois -1 ça donne -1,
22:04 c'est ce qu'on a là,
22:05 1, si je le multiplie par -1 ça donne -1,
22:07 or, -1,5, si je le multiplie par -1,
22:12 ça me donne 1,5,
22:14 ce qui n'est pas égal à 3.
22:17 Donc on écrit que le vecteur AB...
22:21 Qu'est-ce que je raconte ?
22:29 Non, non, c'est bon.
22:36 Donc le vecteur AB et le vecteur EF ne sont pas collinaires.
22:42 Et donc, comme ils ne sont pas collinaires,
22:49 les droites, et attention, les droites,
22:52 ça se note entre parenthèses,
22:53 les droites AB et EF ne sont pas parallèles.
22:59 On passe à une dernière application
23:09 sur les vecteurs collinaires.
23:12 Les vecteurs collinaires servent à prouver
23:14 que des points sont alignés.
23:17 Donc on vous dit, définition,
23:19 3 points AB et C sont alignés
23:21 s'ils appartiennent à une même droite.
23:24 Donc par exemple, l'illustration, les points A,
23:27 je trace une droite que j'appelle D,
23:30 là j'ai un point A, là j'ai un point B,
23:32 là j'ai un point C,
23:34 donc là on écrit que AB et C sont alignés
23:41 car ils appartiennent à une même droite.
23:47 Appartiennent, ENT, car ils appartiennent,
23:49 ils, pluriel, appartiennent, ENT, à une même droite.
23:54 Le sens est ce,
23:59 AB et C sont alignés car ils appartiennent,
24:01 ENT, à une même droite.
24:03 Alors que si je trace ici une droite D,
24:05 je marque un point A ici, un point B là,
24:08 et que je mets le point C ici,
24:10 donc là on constate que les points A, B et C
24:13 ne sont pas alignés,
24:16 car ils n'appartiennent pas à une même droite,
24:21 ils n'appartiennent, ENT, car c'est ils au pluriel,
24:28 donc appartiennent, ENT, présent, pas, à une même droite.
24:33 Et donc que nous dit la propriété ?
24:39 Elle nous dit que trois points distincts, AB et C, sont alignés,
24:42 si et seulement si les vecteurs AB et AC sont collinéaires.
24:46 En effet, regardez ici, AB et C ne sont pas alignés,
24:48 donc si je trace le vecteur AB,
24:51 et que je trace le vecteur AC,
24:53 on constate tout de suite que
24:55 les vecteurs AB et AC n'ont pas la même direction,
24:58 donc les vecteurs AB et AC ne sont pas collinéaires,
25:00 ils n'ont pas la même direction.
25:02 Donc si les points ne sont pas alignés,
25:04 les vecteurs AB et AC ne sont pas collinéaires.
25:06 Alors que ici, si je trace le vecteur AB,
25:08 qui est en rouge,
25:10 et le vecteur AC, qui est en vert,
25:13 et bien ça nous dit que comme les points
25:17 AB et C sont alignés,
25:19 on constate bien que le vecteur AB
25:21 et le vecteur AC ont la même direction.
25:23 Donc, les vecteurs AB et AC sont collinéaires.
25:27 Donc ce qu'il faut retenir, c'est que
25:29 si les points AB et C sont alignés,
25:31 les vecteurs AB et AC sont collinéaires,
25:33 et si les points AB et C ne sont pas alignés,
25:35 donc ils ne sont pas sur la même droite,
25:37 cela signifie que le vecteur AB et le vecteur AC
25:39 ne sont pas collinéaires.
25:41 Donc dernière application,
25:43 soit AB, C et D, 4 points du plan,
25:46 les points AB et C sont alignés,
25:48 donc on va placer le point A,
25:50 AB6-4, ordonnée 5,
25:53 le point B, AB6-0, ordonnée 4,
25:59 et le point C, AB6-2, ordonnée 3/2, qui est ici.
26:04 Donc là, on ne relie surtout pas,
26:06 la question c'est de savoir
26:07 est-ce que les points AB et C
26:08 sont-ils sur une même droite.
26:10 Donc pour ce faire,
26:11 on va calculer les coordonnées du vecteur AB,
26:14 et on va calculer les coordonnées du vecteur AC.
26:19 Et si les vecteurs AB et AC sont collinéaires,
26:22 cela signifie qu'ils sont dans la même direction,
26:24 et donc cela signifiera que les points AB et C sont alignés.
26:27 Donc on calcule les coordonnées du vecteur AB,
26:30 donc propriété c'est l'ab6 de B,
26:32 donc l'ab6 de B, 0,
26:34 moins l'ab6 de A, -4,
26:36 l'ordonnée de B, 4,
26:39 moins l'ordonnée de A, 5,
26:41 donc on trouve que le vecteur AB
26:43 a pour ab6, 4, et ordonnée -1.
26:46 On vérifie une fois de plus graphiquement ce que je viens de dire,
26:50 on avance bien de 4, et on descend de 1,
26:52 donc 4, -1.
26:54 On calcule les coordonnées du vecteur CD,
26:57 donc vu que je vais de C vers D,
26:59 c'est donc l'ab6 de D,
27:00 donc D est son ab6, 5,
27:02 moins l'ab6 de C, 2,
27:04 l'ordonnée de D, 3,
27:06 moins l'ordonnée de C, 3,5.
27:10 Donc le vecteur CD a pour ab6, 3,
27:14 et pourquoi CD ? Je réfléchis même plus à ce que je fais.
27:17 Pour prouver que AB et C sont alignés,
27:20 il faut calculer les coordonnées du vecteur AB et du vecteur AC,
27:23 donc c'est le vecteur AC qu'on doit calculer.
27:25 Donc AC, l'ab6 de C,
27:28 C est son ab6, donc 2,
27:30 moins l'ab6 de A, -4,
27:32 l'ordonnée de C, 3,5,
27:35 -5.
27:37 Donc le vecteur AC,
27:39 2, -4, 6,
27:41 3,5, -5, -1,5.
27:44 Alors tout à l'heure, on a effectué la méthode avec les coordonnées proportionnelles,
27:49 cette fois-ci on va refaire la méthode du déterminant,
27:52 mais au contrôle vous faites la méthode que vous voulez.
27:54 Donc là je vais recalculer le déterminant,
27:56 donc on y va,
27:58 c'est toujours la question,
28:00 le déterminant du vecteur AB et du vecteur AC,
28:03 c'est égal au déterminant du vecteur,
28:07 donc attention il y a une double parenthèse,
28:09 donc le vecteur 4, -1,
28:14 et 6, -1,5.
28:18 Allez, on calcule ce déterminant,
28:21 donc je vous rappelle on multiplie,
28:23 donc on fait 4, -1,5,
28:25 on revient en arrière,
28:28 moins, attention, -1,6.
28:31 On démarre par les deux multiplications,
28:35 4, -1,5 ça donne -6,
28:37 il y a le moins ici,
28:39 et -1,6, -6,
28:41 donc ça donne -6, -6, +6,
28:44 ce qui donne 0.
28:46 Donc on en conclut que le déterminant du vecteur AB et du vecteur CD vaut 0,
28:50 donc on en déduit que le vecteur AB et le vecteur AC sont collinaires,
28:57 et donc comme le vecteur AB et le vecteur AC sont collinaires,
29:04 ça signifie que les deux vecteurs sont dans la même direction,
29:06 donc les points A, B et C sont alignés.
29:14 Et donc comme les points sont alignés,
29:18 cela signifie qu'ils appartiennent aux mêmes droites,
29:20 donc là je peux tracer une droite D qui passe par les trois points,
29:24 on est certain qu'il y a une droite qui passe par ces trois points.
29:31 Et la dernière question, les points A, B et D sont-ils alignés ?
29:34 Donc cette fois-ci je vais placer le point D à pis 5, ordonnée 3,
29:39 donc le point D est ici.
29:41 Donc là je peux enlever le point C pour cette question,
29:44 pour que ce soit plus visuel,
29:45 donc la question, les points A, B et D sont-ils alignés ?
29:48 Cela signifie, est-ce qu'il existe une droite qui passe par les trois points ?
29:53 Donc on va calculer les coordonnées du vecteur AB,
29:57 et on va calculer les coordonnées du vecteur AD.
30:01 Et si les deux vecteurs sont collinéaires,
30:03 cela signifie qu'ils ont la même direction,
30:04 donc les points AB et D sont alignés.
30:06 On a déjà calculé tout à l'heure les coordonnées du vecteur AB,
30:09 on avait trouvé 4, -1.
30:12 Donc là on va calculer les coordonnées du vecteur AD,
30:16 pas mauvais jeu de mots s'il vous plaît,
30:20 donc le vecteur AD, la psis de D, 5,
30:23 moins la psis de A, -4,
30:25 donc 5, -4,
30:27 l'ordonnée de D, 3,
30:28 moins l'ordonnée de A, 5.
30:31 Donc on trouve que le vecteur AD,
30:35 5, -1, 4, 9,
30:38 3, -5, -2.
30:41 Et donc la question c'est de savoir est-ce que les deux vecteurs sont collinéaires ?
30:44 Donc si on fait avec la méthode des coordonnées proportionnelles,
30:47 on constate que -1 x 2, cela donne -2,
30:51 par contre 4 x 2, cela ne fait pas 8.
30:54 Donc ils ne vont pas être collinéaires.
30:56 Bon, là je vais vous entraîner avec le déterminant,
30:59 donc on va bien voir que le déterminant ne vaut pas 0.
31:01 Donc je calcule les déterminants du vecteur AB,
31:05 avec le vecteur AD,
31:07 donc ça donne le déterminant du vecteur de coordonnées 4, -1,
31:11 avec le vecteur de coordonnées 9, -2.
31:15 Si on calcule le déterminant, donc ça donne 4 x -2,
31:20 et si on revient en arrière, -1 x 9,
31:25 ce qui donne -8 -9,
31:30 -1 et -8 + 9, ça donne 1.
31:33 Et il ne faut pas oublier d'écrire son copie,
31:36 que 1, c'est ça qui est important, ce n'est surtout pas égal à 0,
31:39 ça il faut l'écrire.
31:40 Donc le déterminant du vecteur AB avec le vecteur AD vaut 1,
31:43 ce qui n'est pas égal à 0.
31:45 Donc on en déduit que le vecteur AB et AD ne sont pas collinaires.
31:53 Et donc comme les vecteurs AB et AD ne sont pas collinaires,
32:01 ça signifie qu'ils n'ont pas la même direction,
32:03 et donc les points ABD ne sont pas alignés.
32:06 En réalité si on trace, on voit bien que le point D n'est pas sur la droite AB.
32:10 Donc les vecteurs AB et AD ne sont pas collinaires,
32:13 donc les points AB et AD ne sont pas alignés.
32:23 Donc on ne peut pas tracer une droite qui passe par les trois points.
32:30 Donc finalement il n'y a pas de droite qui passe par les trois points.
32:33 Voilà, on a revu ce qu'étaient les vecteurs collinaires,
32:36 comment prouver que des vecteurs sont collinaires ou non,
32:39 et l'utilité des vecteurs collinaires pour la classe de première et de terminale,
32:42 ça vous servira à montrer que des droites sont parallèles ou non,
32:45 et ça vous servira à prouver est-ce que des points sont alignés ou non.
32:49 Voilà, donc en 32 minutes...