Atelier MAN#023 - Vecteurs et Repérages...
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Catalogue de vidéos disponibles : https://docs.google.com/spreadsheets/d/1YyOoi0plYR197o06WGSnkBBsEnFOnrWhrU4VphcoaZ4/edit
TD Forge disponible ici : https://dai.ly/k5ieWzaPHSGxDuBBuXE
Que la Forge soit avec toi !..
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ÉducationTranscription
00:00Mes respects à tout le monde, bienvenue dans la forge du Quantum.
00:25Aujourd'hui, atelier MAN numéro 23, vecteur et repérage.
00:30Et on commence sans plus attendre par les repères.
00:33Je vais faire quelques rappels rapides sur des notions que j'ai déjà abordées dans la base numéro 29.
00:38Intitulé repères et coordonnées, le lien est dans la description.
00:42Catalogue de vidéo. Onglet prérequis.
00:45Un repère, noté O, I, J, ou O, vecteur I, vecteur J, est la résultante de trois points distincts 2 à 2 et non alignés.
00:54Noté O, I, et J, un axe des abscisses, noté X, formé par les points O et I, avec le vecteur OI égal au vecteur I, un axe des ordonnées, noté Y, formé par les points O et J, avec le vecteur OJ égal au vecteur J, le point O est le centre du repère.
01:12Les vecteurs I et J sont appelés vecteurs unités, le segment OI, de longueur unité, permet de graduer l'abscisse X.
01:20Le segment OJ, de longueur unité, permet de graduer l'ordonnée OY.
01:25Il existe quatre types de repères.
01:28Le premier est le repère quelconque, les vecteurs OI et OJ ne sont pas perpendiculaires, et la longueur OI est différente de celle de OJ.
01:36Voilà ce que ça donne graphiquement, et c'est rare de travailler avec, ils apparaissent dans des exercices avec présence de triangle quelconque ou de parallélogramme en géométrie analytique.
01:47Le second est le repère normé, les vecteurs OI et OJ ne sont pas perpendiculaires, et la longueur OI est égale à celle de OJ.
01:54Voilà ce que ça donne graphiquement, et c'est encore plus rare de travailler avec, à moins d'être en présence d'un triangle équilatéra, ou d'un losange.
02:03Le troisième est le repère orthogonal, les vecteurs OI et OJ sont perpendiculaires, et la longueur OI est différente de celle de OJ.
02:11Voilà ce que ça donne graphiquement, et on l'utilise parfois quand on de fait travailler dans un rectangle.
02:17Le dernier est le repère orthonormé, les vecteurs OI et OJ sont perpendiculaires, et la longueur OI est égale à celle de OJ.
02:25Voilà ce que ça donne graphiquement.
02:27Ce repère est utilisé massivement dans tous les exercices de mathématiques et de physique, il a même un petit nom bien à lui, le référentiel.
02:35Un repère est, comme son nom l'indique, un outil de repérage des points suivants des coordonnées.
02:41Voici un repère avec le point M, de coordonnée X, Y, que j'entoure en vert.
02:47Cette écriture est celle imposée au collège, la linéaire, mais je te conseille la matricielle que j'entoure en violet.
02:54Ces coordonnées informent que le vecteur OM est égal à X fois le vecteur I, plus Y fois le vecteur J, avec X la valeur numérique des abscisses, axe horizontal, et Y celle des ordonnées, axe vertical.
03:07C'est fini pour les rappels, on passe au paragraphe suivant, le milieu d'un segment.
03:13Soit deux points, le premier noté A, de coordonnée XA, YA, le second noté B, de coordonnée XB, YB.
03:22Le milieu, noté M, du segment AB aura pour coordonnées, XB plus XA, sur 2, YB plus YA, sur 2.
03:31Je ne vais pas te balancer l'expression sans te donner une petite explication sur le pourquoi du comment, ce ne serait pas très pédagogique de ma part.
03:39Je vais utiliser ce repère, ce sera plus pratique.
03:43Je te rappelle que les valeurs des coordonnées ont toutes la même origine, le centre du repère, noté O.
03:49De ce fait, je matérialise la valeur de XA par cette flèche verte.
03:54Je vais la rajouter à XB pour obtenir cette longueur, matérialisée avec cette double flèche rouge en pointillé.
04:01Il suffit de couper ce segment en deux pour avoir l'abscisse du point M.
04:05Donc, XM est bien égale à, XB plus XA, sur 2.
04:10Même processus sur l'axe vertical.
04:13Je matérialise la valeur de YA par cette flèche verte.
04:17Je vais la rajouter à YB pour obtenir cette longueur, matérialisée avec cette double flèche rouge en pointillé.
04:24Il suffit de couper ce segment en deux pour avoir l'ordonnée du point M.
04:28Donc, YM est bien égale à, YB plus YA, sur 2.
04:33Il n'empêche, quelle est l'utilité de connaître les coordonnées du milieu d'un segment.
04:38Ce n'est même pas raccord avec le titre de l'atelier, vecteur et repérage.
04:44Pour ta gouverne, cet outil est une application détournée du monde vectoriel dans un repère.
04:49Il permettra, au lycée, de démontrer que le quadrilatère que tu as devant les yeux est un parallélogramme.
04:56Je te rappelle que la particularité première d'un parallélogramme, c'est d'avoir ces diagonales qui se coupent en leur même milieu.
05:03Tu détermines donc les coordonnées du milieu de la première diagonale, celles du milieu de la deuxième,
05:08et si les coordonnées sont les mêmes, tu as un parallélogramme.
05:12A mettre dans un coin de ton cerveau, ça pourra te servir et te sauver.
05:16Passons au paragraphe suivant, les vecteurs, et on attaque par ses définitions.
05:21Un vecteur représente une translation, un déplacement rectiligne.
05:26Notez ainsi, AB avec une flèche au-dessus, il a les caractéristiques suivantes.
05:31Un point d'application, ici le point A.
05:35Une direction, celle de la droite AB.
05:38Un sens, de A vers B.
05:41Une longueur, nommée aussi norme, celle du segment AB.
05:45Deux vecteurs égaux auront même direction, même sens, même longueur, et même coordonnées.
05:51Justement, on va les aborder maintenant, et la formule va être d'une importance capitale.
05:57Soit deux points, le premier noté A, de coordonnées xA, yA, le second noté B, de coordonnées xB, yB.
06:06Le vecteur AB aura pour coordonnées, xB-xA, yB-yA.
06:12Sur le schéma de gauche, tu peux constater que le déplacement horizontal, ou abscisse, du vecteur AB est bien xB-xA, son déplacement vertical, ou ordonné, est bien yB-yA.
06:25Si besoin, mets cette vidéo sur pause pour analyser à la fois la formule et son repère associé à gauche.
06:31Il est impératif de comprendre cette formule pour l'apprendre correctement et savoir la ressortir promptement et justement.
06:38Fini avec les coordonnées, on passe à la norme des vecteurs.
06:42Soit deux points, le premier noté A, de coordonnées xA, yA, le second noté B, de coordonnées xB, yB.
06:52La longueur du vecteur AB, appelée norme, notée ainsi, écriture vectoriaire, ou plus simplement, écriture analytique, se calculera ainsi.
07:01AB égale à racine carrée de xB-xA, au carré, plus yB-yA, au carré, aussi égale à racine carrée de Δx, au carré, plus Δy, au carré.
07:15Sur le schéma de gauche, coloré en violet et sur les axes, Δx représente la différence d'abscisse entre les points A et B, Δy leur différence d'ordonnée.
07:26Mais en y regardant de plus près, on se rend compte que Δx et Δy sont les coordonnées du vecteur AB.
07:33Donc, la norme de ce vecteur sera la racine carrée de la somme des carrés de ces coordonnées.
07:39Pratique à savoir quand tu es déjà en présence des coordonnées d'un vecteur.
07:43Passons maintenant à un vecteur particulier, le vecteur nul.
07:47Un vecteur nul, noté 0 avec une flèche au-dessus, n'a aucune direction, aucun sens, et il est de longueur nulle.
07:55Tous vecteurs, de type A ou BB, vecteurs constitués de la même lettre, sont des vecteurs nuls car le point de départ et le point d'arrivée sont confondus.
08:04Il faut savoir les reconnaître et les éliminer en somme vectorielle, pour la simplifier et arriver bien plus vite au résultat.
08:11Paragraphe suivant, la collinéarité des vecteurs.
08:15Deux vecteurs sont collinéaires s'ils ont soit la même direction, soit le même sens.
08:20Deux vecteurs collinéaires permettent de montrer que deux droites sont parallèles, ou que trois points sont alignés.
08:26Attention, le vocabulaire technique doit être correctement employé.
08:31Les vecteurs sont collinéaires, pas parallèles.
08:34Les droites sont parallèles, pas collinéaires.
08:38La raison est simple, la différence structurée entre une droite et un vecteur.
08:43La droite est définie par deux points fixes dans le plan ou l'espace, ce qui la rend immobile.
08:48Elle est de longueur infinie et n'a pas de sens, la droite AB est aussi la droite BA.
08:54Par contre, même si le vecteur est lui aussi défini par deux points, il renseigne aussi sur quatre informations importantes, son point d'application, qui peut changer, sa direction, son sens, et sa forme.
09:07Tout ce package le rend mobile dans le plan ou l'espace.
09:11Pour différencier ces deux objets, les mathématiciens ont décidé de termes techniques propres.
09:16De ce fait, les vecteurs sont collinéaires, pas parallèles, et les droites sont parallèles, pas collinéaires.
09:23C'est bon pour toi ?
09:25Alors on continue.
09:27Soit deux vecteurs u et v, deux coordonnées suivantes, x y pour u, x' et y' pour v.
09:34Les vecteurs seront collinéaires si x fois y' égale à x' fois y.
09:40Pour déterminer le coefficient de collinéarité, notez k, tel que le vecteur v soit égal à k fois le vecteur u.
09:47Le calcul est le suivant.
09:49k est égal à x' sur x, aussi égal à y' sur y.
09:55Paragraphe suivant, les sommes de vecteurs.
09:58Soit deux vecteurs u et v, deux coordonnées suivantes, x y pour u, x' et y' pour v.
10:05Si le vecteur w est la somme des vecteurs u et v, alors les coordonnées de w seront x plus x', y plus y'.
10:14Attention aux signes des coordonnées, une erreur est si vite arrivée.
10:19Sur l'illustration à droite, il est facile de constater que les coordonnées du vecteur ac, somme des vecteurs a b et bc, sont bien la somme de leurs coordonnées.
10:28Pour les sommes, c'est fait.
10:31On passe désormais à la multiplication par un réel.
10:34Soit k un réel, et u un vecteur de coordonnées x, y.
10:39Si le vecteur w est égal à k fois le vecteur u, alors les coordonnées de w seront k fois x, k fois y.
10:47Si k est strictement positif, les vecteurs u et w auront même direction et même sens.
10:53C'est le cas pour ces deux vecteurs, a b et c d.
10:57Ici, la norme de a b est 3, celle de c d est 5.
11:01Donc, soit le vecteur c d est égal à 5 tiers fois le vecteur a b, soit le vecteur a b est égal à 3 cinquièmes fois le vecteur c d.
11:09Si k est strictement négatif, les vecteurs u et w auront même direction, mais seront de sens opposé.
11:16C'est le cas pour ces deux vecteurs, a b et c d.
11:20Ici, la norme de a b est 2, celle de c d est 3.
11:25Donc, soit le vecteur c d est égal à moins 3 demi fois le vecteur a b, soit le vecteur a b est égal à moins 2 tiers fois le vecteur c d.
11:33Voici quelques propriétés de la multiplication par un réel.
11:37La première, distributivité scalaire.
11:41k fois u plus v est égal à k fois u plus k fois v.
11:46Comme son nom l'indique, distribution du réel sur chaque terme de la somme vectorielle.
11:51La seconde, distributivité vectorielle.
11:54k plus k prime fois u est égal à k fois u plus k prime fois u.
12:00Comme son nom l'indique, distribution du vecteur sur chaque terme de la somme des réels.
12:05La dernière, l'associativité.
12:08k fois k prime fois u est égal à k fois k prime fois u.
12:13Et vu que j'y suis, un petit rappel qui, je pense, ne sera pas du luxe.
12:19La division d'un vecteur par un réel, noté k, est possible, ce qui est équivalent à une multiplication par son inverse, noté 1 sur k.
12:28J'espère que cette information est remontée à la surface de ton cerveau,
12:32et qu'elle ne va plus sombrer dans les profondeurs abyssales des souvenirs oubliés.
12:36Sans transition, on passe à la relation de Schall.
12:40La relation de Schall est un cas particulier d'addition de vecteurs.
12:44Elle ne peut s'appliquer que lorsque l'extrémité du premier vecteur correspond au même point que l'origine du deuxième vecteur.
12:51Pour faire clair, vecteur AB plus vecteur BC est égal au vecteur AC.
12:56Remarque la couleur rouge du point B dans cette somme,
12:59qui correspond à l'extrémité du premier vecteur, ainsi qu'au point de l'origine du deuxième vecteur.
13:05Et hop, un petit schéma pour imager la situation,
13:08qui montre que le point B dans ce cas est un point de transition, qui sera éliminé lors de la somme.
13:14Tant qu'on est dans la géométrie vectorielle, on va aborder la règle du parallélogramme.
13:19Si deux vecteurs ne sont pas parallèles mais qu'ils ont la même origine, le même point de départ,
13:24et qu'ils sont additionnés, tu obtiendras un parallélogramme.
13:28Vecteur AB plus vecteur AC, égal au vecteur AD.
13:32Remarque la couleur rouge du point A dans cette somme,
13:35qui correspond à l'extrémité commune des deux vecteurs.
13:38Et re-hop, un petit schéma pour imager la situation,
13:41qui montre que AD est une diagonale, et D est le point tel que ABDC est un parallélogramme.
13:47Je vais profiter de ton attention pour faire une remarque.
13:51Ne pas confondre la relation de Schall et la règle du parallélogramme.
13:55Même si elles permettent toutes les deux de construire la somme de deux vecteurs,
13:59elles ont chacune leur particularité.
14:02La relation de Schall fait la somme de vecteurs consécutifs,
14:05comme par exemple vecteur AB plus vecteur BC égal au vecteur AC,
14:09avec le point B, en rouge, la fin du premier vecteur et le début du second.
14:15La règle du parallélogramme fait la somme des vecteurs de même origine,
14:18comme par exemple vecteur AB plus vecteur AC égal au vecteur AD.
14:23Je termine cet atelier avec quelques rappels de géométrie.
14:27Tu vas devoir tracer des vecteurs sur une feuille, quadrillée ou non.
14:31Il te faudra dans tous les cas savoir tracer des parallèles à ces vecteurs
14:35pour pouvoir les déplacer en le plan et construire la figure demandée dans l'énoncé.
14:39La première technique utilise la règle et l'équerre.
14:43Un conseil, toujours considérer la règle comme le stator,
14:47elle sera fixe durant toute l'opération de traçage,
14:50et l'équerre sera le transport. Elle déplace le vecteur.
14:54Fais en sorte de bien bloquer cette règle afin qu'elle ne bouge pas durant toute l'opération,
14:58donc apprends à placer tes doigts sur elle.
15:01Seconde technique avec le compas.
15:04Par contre ici, il te faudra un compas rigide, en métal ou plastique épais,
15:08et une pointe de crayon, ou de mine, bien taillée.
15:12Cette méthode est un peu plus longue que la première, mais elle est plus précise.
15:17Un conseil, entraîne-toi pour maîtriser les deux,
15:20et n'oublie jamais ton matériel de traçage.
15:23L'atelier est désormais terminé.
15:25Tu as des questions ?
15:27Tu veux un complément d'information ?
15:30Rejoins-moi dans l'espace commentaires.
15:33Le cours complet en PDF, librement téléchargeable,
15:36est disponible dans la description de cette vidéo.
15:39Le tutoriel de travaux dirigé intitulé ForgeMAN hashtag 023,
15:44vecteur et repérage, est accessible, le lien est en description.
15:48Je t'explique comment forger des exercices dans les règles de l'art.
15:52A tout de suite.
15:54Tchuss !