Forge MAN#021 - Fonctions Composées...
Exercices disponible ici : https://drive.google.com/drive/folders/19F8Ih-ENk--F6c9aIE3wcuFszEEPNqKf?usp=sharing
Catalogue de vidéos disponibles : https://docs.google.com/spreadsheets/d/1YyOoi0plYR197o06WGSnkBBsEnFOnrWhrU4VphcoaZ4/edit
Le cours est accessible ici : https://dai.ly/kNrAcSvRwY57LZBrwXi
Que la Forge soit avec toi...
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00:00J'espère que vous avez apprécié cette vidéo. Si c'est le cas, n'hésitez pas à vous abonner à la chaîne pour ne manquer aucune de mes vidéos.
00:07Merci et à la prochaine !
00:30Commencez sans plus attendre par compléter ce tableau, dans lequel on te donne les fonctions f et g, et on te demande f rongé, son domaine de définition, g rond f, et aussi son domaine de définition.
00:42Au vu des fonctions et de la place laissée dans le tableau, il va falloir s'organiser pour que tout rentre.
00:48Donc, je vais traiter chaque ligne séparément, ce sera plus propre.
00:53Première ligne.
00:55f de x est égal à 4x plus 5.
00:58g de x est égal à x au carré.
01:01f rond g de x est égal à f de g de x, soit f de x au carré, ce qui va donner 4x au carré plus 5, que j'inscris dans le tableau.
01:10Pour le domaine de définition, f rongé étant une fonction polynôme de degré 2, c'est l'ensemble des réels.
01:17g rond f de x est égal à g de f de x, soit g de 4x plus 5, ce qui va donner 4x plus 5, au carré, inscrit dans le tableau.
01:27Ici aussi, fonction polynôme de degré 2, donc domaine de définition égale à l'ensemble complet des réels.
01:34Seconde ligne.
01:36f de x est égal à 1 sur x.
01:39g de x est égal à 1 moins 2x.
01:42f rond g de x est égal à f de g de x, soit f de 1 moins 2x, ce qui va donner 1 sur 1 moins 2x, inscrit dans le tableau.
01:51Pour le domaine de définition, 1 moins 2x doit être non-nul, division par 0 impossible, donc x différent de 1 demi.
02:00Le domaine de définition sera donc moins l'infini exclu, 1 demi exclu, union 1 demi exclu, plus l'infini exclu.
02:08Mais comme je n'ai pas assez de place dans la case du tableau, je vais lettre sa forme réduite, r privé de 1 demi.
02:14g rond f de x est égal à g de f de x, soit g de 1 sur x, ce qui va donner 1 moins 2 sur x, inscrit dans le tableau.
02:24Comme il est impossible de diviser par 0, x ne peut pas être nul donc, le domaine de définition est r étoile, c'est-à-dire l'ensemble des réels sans le 0.
02:33Troisième ligne.
02:35f de x est égal à racine carré 2, x plus 1.
02:39g de x est égal à 3 plus 2x.
02:42f rond g de x est égal à f de g de x, soit f de 3 plus 2x, ce qui va donner racine carré 2, 3 plus 2x, inscrit dans le tableau.
02:53Pour le domaine de définition, 3 plus 2x supérieur ou égal à 0, toujours un nombre positif ou nul sous une racine carré, donc x supérieur ou égal à moins 3 demi.
03:04Le domaine de définition sera donc moins 3 demi inclus, plus l'infini exclu.
03:10g rond f de x est égal à g de f de x, soit g de racine carré 2, x plus 1, ce qui va donner 3 plus 2 racine carré 2, x plus 1, inscrit dans le tableau.
03:21x plus 1 doit être positif ou nul donc, x supérieur ou égal à moins 1, le domaine de définition est moins 1 inclus, plus l'infini exclu.
03:30Quatrième et dernière ligne.
03:33f de x est égal à valeur absolue de x.
03:36g de x est égal à 1 sur 2x moins 1.
03:40f rond g de x est égal à f de g de x, soit f de 1 sur 2x moins 1, ce qui va donner valeur absolue de 1 sur 2x moins 1, inscrit dans le tableau.
03:51Pour le domaine de définition, 2x moins 1 non nul, division par 0 impossible, x différent de 1 demi.
03:59Le domaine de définition sera donc moins infini exclu, 1 demi exclu, union 1 demi exclu, plus l'infini exclu.
04:07Mais comme je n'ai pas assez de place dans le tableau, je vais mettre sa forme réduite, r privé de 1 demi.
04:13g rond f de x est égal à g de f de x, soit g de valeur absolue de x, ce qui va donner 1 sur 2 valeur absolue de x moins 1, inscrit dans le tableau.
04:24Deux valeurs absolues de x moins 1 ne peut pas être nulles, division par 0 impossible, donc valeur absolue de x différent de 1 demi, ce qui entraîne que x différent de moins 1 demi, et 1 demi.
04:36Si tu te demandes pourquoi, je te conseille d'aller visionner la vidéo qui en part, intitulée Valeurs absolues, Atelier MAN numéro 3, dont le lien est dans la description.
04:46Catalogue de vidéos.
04:48Salman Delbrotte.
04:50Le domaine de définition sera le suivant.
04:53Moins l'infini exclu, moins 1 demi exclu, union moins 1 demi exclu, 1 demi exclu, union 1 demi exclu, plus l'infini exclu.
05:02Mais comme la place manque dans la case de mon tableau, je vais utiliser son écriture réduite, r privé de moins 1 demi et 1 demi.
05:10Fin de l'exercice, on passe au suivant.
05:13On considère une fonction f définie sur l'intervalle moins 5 inclus, 4 inclus, dont le tableau de variation est donné ci-dessous.
05:21Il faut déterminer le tableau de variation de deux fonctions, g et h, des compositions de la fonction f.
05:28Première fonction, g de x égale à f de x plus 2.
05:33C'est une translation horizontale qui ne change en rien les variations de la transformée.
05:38De ce fait, g a les mêmes variations que f.
05:42That's it.
05:43Par contre, il faut enlever chaque extrémum local, ils ne correspondent pas.
05:48Il sera d'ailleurs impossible de déterminer les nouveaux avec les informations dont on dispose dans le tableau.
05:54Seconde fonction, h de x égale à moins 2 f de x.
05:59Multiplication de f par un nombre négatif, donc inversion des variations.
06:04Décroissante entre moins 5 et moins 2, croissante entre moins 2 et 1, puis décroissante entre 1 et 4.
06:11Contrairement à la fonction précédente, il sera possible ici de déterminer les valeurs de chaque extrémum local,
06:17puisqu'il suffit de multiplier ceux de la fonction f par moins 2 pour obtenir ceux de la fonction g.
06:23Je te les affiche une par une sur l'écran.
06:26Fin de l'exercice, on passe au suivant.
06:29Soit f une fonction dont l'image d'un nombre x est définie par un surracine carré 2, x plus 1.
06:35Trois petites questions qui vont être expédiées en un temps record.
06:40Question 1. Donnez l'ensemble de définition de la fonction f.
06:44Simple, f existe si et seulement si l'intérieur de la racine carré est strictement positif.
06:50En effet, non seulement il est impossible d'avoir un nombre négatif sous une racine, mais la division par 0 n'est pas définie.
06:58De ce fait, x strictement supérieur à moins 1.
07:02Le domaine de définition, noté d f, sera donc moins 1 exclu, plus l'infini exclu.
07:08Question 2. Décomposez cette fonction à l'aide de trois fonctions de référence.
07:13Quand tu as ce genre de question, il te faut être pragmatique et voir les choses simplement.
07:19Première fonction détectable, u de x égale à x plus 1.
07:23Seconde fonction, v de x est égale à racine carré 2 x, celle qui enveloppe u de x.
07:29Troisième fonction, w de x est égale à 1 sur x, celle qui inverse la racine carré 2, x plus 1.
07:37En combinant ces trois fonctions dans le bon sens, on peut affirmer que f est égale à w, rond v, rond u.
07:44Question 3. Prouvez la décroissance de la fonction f sur df.
07:49Pour ça, il va falloir les résultats de la question précédente, que j'affiche ici.
07:54J'espère que tu connais bien tes fonctions de référence parce que ça va aller très vite.
07:59Sur le domaine de définition, la fonction u est strictement croissante, fonction affine à coefficient directeur positif, v est strictement croissante, et w est strictement décroissante.
08:11f est égale à w, rond v, rond u, deux fonctions croissantes, une décroissante, ce qui entraîne que les variations des trois fonctions ne sont pas identiques, donc f décroissante.
08:23Fin de l'exercice, on passe au suivant.
08:26On considère une fonction f définie sur r dont voici le tableau de variation.
08:31On considère la fonction g dont l'image d'un nombre x est définie par la relation p de x égale à 2 sur f de x, moins 1, plus 3.
08:40Question 1. Déterminez l'image des nombres moins 1 et 3 par la fonction g.
08:45On va devoir utiliser les informations mises à disposition, c'est-à-dire l'expression algébrique de g et le tableau de variation de f.
08:53g de moins 1 est égale à 2 sur f de moins 1, moins 1, plus 3.
08:58Pour trouver l'image de moins 1 par f, il suffit d'aller dans le tableau, elle est égale à 5.
09:04g de moins 1 est égale à 2 sur 5 moins 1, plus 3, ce qui donne 3,5.
09:10g de 3 est égale à 2 sur f de 3, moins 1, plus 3.
09:15Pour trouver l'image de 3 par f, il suffit d'aller dans le tableau, elle est égale à 2.
09:21g de 3 est égale à 2 sur 2 moins 1, plus 3, ce qui donne 5.
09:26Question 2. Déterminez le sens de variation de la fonction g sur l'intervalle moins infini exclu, 3 inclus.
09:33Je vais utiliser le même tableau que celui de f, mais les variations de g seront en rouge.
09:39Analysons maintenant l'expression algébrique de g.
09:42Ici et là, présente d'une translation verticale.
09:46A cet endroit, ce sera une dilatation verticale.
09:50Mais ces transformations ne modifient pas les variations.
09:54Par contre, on a une inversion de fonction, f est au dénominateur, ce qui entraîne une inversion de variation.
10:01Donc, sur l'intervalle moins infini exclu, 3 inclus, comme f est décroissant, g sera croissante.
10:08On peut même ajouter l'image de 3 par la fonction g, calculée précédemment.
10:13Cool !
10:14Certes, ce n'est pas demandé, mais je rajoute la variation de g sur l'intervalle 3, plus l'infini.
10:21C'est cadeau !
10:22Fin de l'exercice, on passe au dernier.
10:25On considère la fonction f définie sur l'intervalle fermé moins 4, 4, dont la courbe cf représentative est donnée ci-dessous dans le repère ou ij orthonormé.
10:36Il va falloir calculer 3 images, et il te faudra utiliser uniquement les informations mises à disposition, c'est-à-dire la représentation graphique de f.
10:45Première question, f rond f de 1 est égale à f de f de 1.
10:50Pour avoir l'image de 1, il suffit de la lire sur le graphique.
10:54Elle se trouve ici, elle est nulle.
10:57Donc, f rond f de 1 est égale à f de 0.
11:01Pour l'image de 0, lecture graphique et elle se trouve là.
11:05f rond f de 1 est égale à 2.
11:08Seconde question, f rond f de moins 2 est égale à f de f de moins 2.
11:13Pour avoir l'image de moins 2, il suffit de la lire sur le graphique.
11:18Elle se trouve ici et elle est égale à 1,5.
11:21Donc, f rond f de moins 2 est égale à f de 1,5.
11:26Pour l'image de 1,5, lecture graphique et elle se trouve là.
11:31f rond f de moins 2 est égale à moins 2.
11:34Dernière question, f rond f de 3 est égale à f de f de 3.
11:39Pour avoir l'image de 3, il suffit de la lire sur le graphique.
11:44Elle se trouve ici et elle est égale à moins 3.
11:47Donc, f rond f de 3 est égale à f de moins 3.
11:51Pour l'image de moins 3, lecture graphique et elle se trouve là.
11:55f rond f de 3 est égale à moins 0,5.
11:59Clap de fin.
12:01La forge est désormais terminée.
12:03Des questions ?
12:05Un complément d'information ?
12:07Rejoins-moi dans l'espace commentaires.
12:10D'autres exercices en PDF, librement téléchargeables, sont disponibles dans la description de cette vidéo.
12:17A toi de forger maintenant.
12:19Prochaine vidéo sur l'enclume.
12:22Que la forge soit avec toi.
12:24Restez connectés.
12:26Tchuss !