Forge MAN#023 - Vecteurs et Repérage...
Exercices disponible ici : https://drive.google.com/drive/folders/1EU0vjtIVTBjMEUN46Vqse3EzeXuCRPGH?usp=sharing
Catalogue de vidéos disponibles : https://docs.google.com/spreadsheets/d/1YyOoi0plYR197o06WGSnkBBsEnFOnrWhrU4VphcoaZ4/edit
Le cours est accessible ici : https://dai.ly/k2MYFs8baFrnj5BBuXG
Que la Forge soit avec toi...
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ÉducationTranscription
00:00Mes respects à tout le monde, bienvenue dans la forge du Quantum.
00:24Aujourd'hui, forge la marraine numéro 23, vecteur et repérage.
00:29Et on commence en plus à tendre par un petit exercice tout simple pour échauffer ton cerveau.
00:35Soit ABCD un carré.
00:37Soit E le milieu du segment AB, et F le milieu du segment BD.
00:41Question 1, faire une figure.
00:44Ok, voici un carré, 4 sommets, A, B, C, et D.
00:50E milieu du côté AB, F milieu de la diagonale BD.
00:54C'est tout.
00:55Next.
00:57Question 2, pourquoi le repère ABD est-il orthonormé ?
01:01Simple, AB perpendiculaire à AD, et la longueur AB est égale à celle de AD, ce qui entraîne que le repère est bien orthonormé.
01:09Seconde partie de la question, il faut donner les coordonnées des différents points dans ce repère.
01:15Je rappelle que le repère ABD indique qu'A est le centre de ce repère, B le point unité des axes, D celui des ordonnées.
01:22De ce fait, mon carré est mal orienté, mais on va faire avec.
01:27Les axes seront dans mon cas vertical, les ordonnées horizontales.
01:32Je rappelle que les coordonnées, c'est le couple axes, ordonnées, donc vert, puis bleu.
01:38Dans l'ordre alphabétique, le point A étant le centre du repère, ses coordonnées sont 0, 0.
01:44B étant le point unité des axes, ses coordonnées sont 1, 0.
01:49Pour C, déplacement d'une unité en vert, puis la même valeur en bleu, donc coordonnées 1, 1.
01:55Pour D, étant le point unité des ordonnées, ses coordonnées sont 0, 1.
02:00Pour E, milieu de AB, ses coordonnées sont 0,5, 0.
02:05Pour F, milieu de la diagonale BD, donc centre du carré, ses coordonnées sont 0,5, 0,5.
02:13Tu vois, rien de bien compliqué.
02:17Échauffement du cerveau terminé, on entre dans le vif du sujet.
02:21Exercice suivant.
02:23Placez le point A, de coordonnées 4, moins 2, le point B, de coordonnées moins 1, 3,5,
02:30et le point I, de coordonnées 3, 2, dans un repère orthonormé.
02:35On va commencer par faire ça, on abordera les questions au fur et à mesure.
02:40Besoin de place pour rédiger.
02:43Voilà qui est bien mieux.
02:45Les points sont placés.
02:47Petit rappel, dans le couple de coordonnées, le premier est L et celui des abscisses, axe horizontal.
02:53Le second celui des ordonnées, axe vertical.
02:56Ne surtout pas les inverser.
02:59Question suivante, construire les points C, et D, tels que ABCD soit un parallélogramme de centri.
03:06Vu qu'on demande une construction, il va falloir partir du repère de la première question.
03:11De là, il te faut tracer les droites A I et B I, et attention à bien t'appliquer.
03:17Pour placer le point C, il suffit de prendre la mesure de la longueur du segment A I,
03:21et de la reporter au-dessus de I sur la droite A I.
03:25Pour placer le point D, il suffit de prendre la mesure de la longueur du segment B I,
03:29et de la reporter à droite de I sur la droite B I.
03:33Puis, il faut relier les 4 points pour faire apparaître ce parallélogramme.
03:38Attention, le quadrilatère est un parallélogramme qui ressemble fortement à un rectangle, un parallélogramme particulier.
03:45Mais comme il n'y a aucune certitude chiffrée qu'ABCD soit un rectangle,
03:49et que ce serait trop long pour le prouver, même s'il est un rectangle, il faudra écrire parallélogramme.
03:55Tiens, on va déterminer les coordonnées de ces 2 points par lecture graphique.
04:00C A pour coordonnée 2, 6.
04:03D A pour coordonnée 7, 0,5.
04:07Dernière question, il faut calculer les coordonnées de C et D.
04:11On va appliquer les formules et voir si notre lecture graphique est cohérente.
04:16Dans le coin droit de ton écran, je réaffiche les coordonnées des points donnés dans l'énoncé.
04:22I milieu du segment A C, donc X I égale à X A plus X C sur 2.
04:27Produit en croix, 2 X I égale à X A plus X C, ce qui entraîne que 2 X I moins X A égale à X C.
04:35Y I égale à Y A plus Y C sur 2.
04:39Produit en croix, 2 Y I égale à Y A plus Y C, ce qui entraîne que 2 Y I moins Y A égale à Y C.
04:47En remplaçant par les valeurs correspondantes, C A pour coordonnée 2, 6.
04:52Exactement ce qui a été obtenu par lecture graphique.
04:56Point suivant, et je vais aller plus vite car le processus est identique.
05:01I milieu du segment B D, donc X I égale à X B plus X D sur 2.
05:06Produit en croix, 2 X I égale à X B plus X D, ce qui entraîne que 2 X I moins X B égale à X D.
05:14Y I égale à Y B plus Y D sur 2.
05:18Produit en croix, 2 Y I égale à Y B plus Y D, ce qui entraîne que 2 Y I moins Y B égale à Y D.
05:27En remplaçant par les valeurs correspondantes, D A pour coordonnée 7, 0,5.
05:33Exactement ce qui a été obtenu par lecture graphique.
05:37Excellent boulot !
05:39Exercice suivant.
05:41En lisant en diagonale, on apprend qu'il va falloir montrer la collinearité entre deux vecteurs, le parallélisme de deux droites, et l'alignement de trois points.
05:50Comme j'ai besoin de place pour rédiger, je vais faire le vide, et répondre au fur et à mesure.
05:56Question 1. Les vecteurs U et V sont-ils collinéaires ?
06:00Justifié.
06:02Par définition, soit un vecteur U, de coordonnée X, Y, et un vecteur V de coordonnée X prime, Y prime.
06:10Les vecteurs seront collinéaires si X fois Y prime égale à X prime fois Y.
06:16On va faire une sorte de produit en croix avec les coordonnées, et valider l'égalité, ou non.
06:23Ce qui entraîne que 12 égale 12.
06:26Égalité validée, donc vecteur collinéaire.
06:29Next.
06:31Question 2. Les vecteurs W et X sont-ils collinéaires ?
06:35Justifié.
06:37Toujours par définition, soit un vecteur U, de coordonnée X, Y, et un vecteur V de coordonnée X prime, Y prime.
06:46Les vecteurs seront collinéaires si X fois Y prime égale à X prime fois Y.
06:51On va faire une sorte de produit en croix avec les coordonnées, et valider l'égalité, ou non.
06:57Moins un cinquième fois moins douze égale à deux fois un, ce qui entraîne que douze cinquièmes égale à deux.
07:03Égalité erronée, donc vecteur non collinéaire.
07:07Next.
07:09Question 3. Dans un repère d'origine O, on donne les points suivants.
07:13A, de coordonnée 2, 5.
07:16B, de coordonnée moins 1, 6.
07:20C, de coordonnée 6, moins 2.
07:23Et D, de coordonnée 6, 4.
07:31Justifié.
07:32Il suffit de calculer les coordonnées des vecteurs correspondants.
07:36Par définition, les coordonnées du vecteur A-B seront X-B moins X-A, Y-B moins Y-A.
07:43Remplacement des variables par leurs réels, et le vecteur A-B a pour coordonnées moins 3, 1.
07:49De nouveau par définition, les coordonnées du vecteur O-C seront X-C moins X-O, Y-C moins Y-O.
07:56Remplacement des variables par les valeurs correspondantes, et le vecteur O-C a pour coordonnées 6, moins 2.
08:03Toujours par définition, soit un vecteur U, de coordonnées X, Y, et un vecteur V de coordonnées X-prime, Y-prime.
08:12Les vecteurs seront collinéaires si X fois Y-prime égale à X-prime fois Y.
08:18On va faire une sorte de produit en croix avec les coordonnées, et valider l'égalité, ou non.
08:24En rouge à droite des coordonnées des vecteurs A-B et O-C, je t'indique les valeurs numériques des variables X, Y, X-prime, et Y-prime.
08:33Moins 3 fois moins 2 égale à 6 fois 1, ce qui entraîne que 6 égale à 6.
08:38Égalité validée, donc vecteur collinéaire, ce qui entraîne que les droites sont bien parallèles.
08:44Next.
08:46Petit b, les points A, B, et D, sont-ils alignés ?
08:51Justifié.
08:53Pour vérifier l'alignement, je vais déterminer la collinéarité de deux vecteurs, A-B et A-D par exemple.
08:59Tu peux le faire avec n'importe quel autre vecteur, le principal étant que les deux vecteurs choisis aient le même point de départ, dans mon cas, le point A.
09:08Par définition, les coordonnées du vecteur A-B seront X-B moins X-A, Y-B moins Y-A.
09:15Remplacement des variables par leur réel, et le vecteur A-B a pour coordonnées moins 3, 1.
09:21De nouveau par définition, les coordonnées du vecteur A-D seront X-D moins X-A, Y-D moins Y-A.
09:28Remplacement des variables par les valeurs correspondantes, et le vecteur A-D a pour coordonnées 4, moins 1.
09:35Toujours par définition, soit un vecteur U de coordonnées X, Y, et un vecteur V de coordonnées X-prime, Y-prime.
09:44Les vecteurs seront collinéaires si X fois Y-prime égal à X-prime fois Y.
09:49On va faire une sorte de produit en croix avec les coordonnées, et valider l'égalité, ou non.
09:55En rouge à droite des coordonnées des vecteurs A-B et A-D, je t'indique les valeurs numériques des variables X, Y, X-prime, et Y-prime.
10:04Moins 3 fois moins 1 égal à 4 fois 1, ce qui entraîne que 3 égal à 4.
10:10Égalité erronée, donc vecteur non collinéaire, ce qui entraîne que les points ne sont pas alignés.
10:16Next.
10:17Exercice suivant.
10:19Soit les points suivants.
10:21A, de coordonnées moins 1, 2.
10:24B, de coordonnées 5, 1.
10:27C, de coordonnées 0, moins 2.
10:30D, de coordonnées moins 7, 4.
10:34E, de coordonnées moins 5, 0.
10:374 questions qui vont demander beaucoup de place pour la rédaction, donc comme d'habitude, je fais du vide et je les traite au fur et à mesure.
10:46Question 1, faire une figure.
10:49Fastoche, repères orthonormes et standards, et tu places les points correctement.
10:55Tu devrais avoir ça.
10:577, l'utilisation de géogébras facilite la manœuvre et apporte un certain cachet aux repères, mais il te faudra faire sans cet outil informatique dans un devoir surveillé.
11:07Une règle, un crayon bien taillé et tu t'appliques.
11:11Next.
11:12Question 2, le point A est-il le milieu du segment BD ?
11:16Première méthode, par lecture graphique.
11:19Elle n'est pas précise, mais elle donne une bonne estimation de ce que tu vas devoir montrer, ou démontrer.
11:25Le but est de déterminer la différence d'abscisse et d'ordonnée entre les points B et A, puis entre les points A et D.
11:32C'est parti.
11:34Entre B et A, déplacement horizontal de 6 unités, flèche rouge, déplacement vertical d'une seule unité, flèche bleue.
11:42Entre A et D, déplacement horizontal de 6 unités, flèche rouge, déplacement vertical de 2 unités, flèche bleue.
11:50Comme la différence d'ordonnée n'est pas la même, le point A ne peut pas être le milieu du segment BD.
11:56Seulement, cette explication n'est pas mathématiquement justifiée, il faut du calcul et du nombre.
12:02C'est parti.
12:04Le point A est-il le milieu du segment BD ?
12:07Si tel est le cas, par définition, xA sera égal à xB plus xD sur 2.
12:13Remplacement des variables par les valeurs correspondantes, et xA est égal à moins 1.
12:19Cool, ça commence bien.
12:21Toujours dans le cas où A serait le milieu du segment BD, par définition, yA sera égal à yB plus yD sur 2.
12:30Remplacement des variables par les valeurs correspondantes, et yA est égal à 5 demi, différent de 2.
12:37Pas cool, ça finit mal.
12:39De ce fait, et ça confirme le résultat de la lecture graphique, le point A n'est pas le milieu du segment BD.
12:46Next.
12:48Question 3, le triangle abaissé est-il isocèle ?
12:52Je réaffiche le repère, en ayant pris soin de tracer le triangle.
12:56Impossible d'avoir un avis tranchant sur la question en analysant ce graphique, la méthode analytique permettra d'avoir des certitudes.
13:04La meilleure technique consiste à calculer la longueur de chaque côté de ce triangle.
13:09On commence par AB.
13:11Utilisation de la formule adéquate, racine carré 2, xB moins xA, au carré, plus, yB moins yA, au carré.
13:20Remplacement de chaque variable par leurs valeurs numériques, et AB est égal à racine carré de 37.
13:27On continue avec AC.
13:29Utilisation de la formule adéquate, la même que précédemment, racine carré 2, xC moins xA, au carré, plus, yC moins yA, au carré.
13:40Remplacement de chaque variable par leurs valeurs numériques, et AC est égal à racine carré de 17.
13:46On termine par BC.
13:48Utilisation de la formule adéquate, la même que précédemment, racine carré 2, xC moins xB, au carré, plus, yC moins yB, au carré.
13:59Remplacement de chaque variable par leurs valeurs numériques, et BC est égal à racine carré de 34.
14:06Un triangle isocèle a deux côtés de même longueur, ce qui n'est pas le cas ici.
14:11Donc non, il n'est pas isocèle.
14:14Next.
14:15Question 4. Montrez que le triangle ADE est isocèle rectangle en E.
14:20Je réaffiche le repère, en ayant pris soin de tracer le triangle.
14:24En regardant de plus près, il semblerait qu'un angle droit soit présent au point E, avec les côtés DE et AE de même longueur.
14:32Il faut des certitudes, donc de la formule, du calcul et des nombres.
14:37Le plus simple est de calculer la longueur de chaque côté du triangle.
14:41On commence par AD.
14:43Utilisation de la formule adéquate, racine carré 2, xD moins xA, au carré, plus, yD moins yK, au carré.
14:52Remplacement de chaque variable par leurs valeurs numériques, et AD est égal à racine carré de 40.
14:58On continue avec AE.
15:00Utilisation de la formule adéquate, la même que précédemment, racine carré 2, x moins xA, au carré, plus, yE moins yK, au carré.
15:11Remplacement de chaque variable par leurs valeurs numériques, et AE est égal à racine carré de 20.
15:17On termine par DE.
15:19Utilisation de la formule adéquate, la même que précédemment, racine carré 2, x moins xD, au carré, plus, yE moins yD, au carré.
15:30Remplacement de chaque variable par leurs valeurs numériques, et DE est égal à racine carré de 20.
15:36Premier point, il y a bien deux côtés de même longueur, AE et DE, il est bien isocèle en E.
15:42Second point, il est facile de vérifier que AD au carré est égal à AE au carré, plus DE au carré, donc il est rectangle en E.
15:50Ce triangle ADE est bien isocèle rectangle en E.
15:54Next.
15:56Exercice suivant.
15:58Le plan est muni d'un repère orthonormal O, I, J.
16:02Soit les points suivants.
16:04A, de coordonnées moins 3, 1.
16:07B, de coordonnées 3, 4.
16:10C, de coordonnées 17, moins 32.
16:14Et N, de coordonnées 3, moins 7.
16:17Seulement deux questions, mais elles vont demander beaucoup de place pour la rédaction, donc comme d'habitude, je fais du vide et je les traite au fur et à mesure.
16:27On sera tenté de faire une figure, mais les coordonnées du point C nous en empêchent car bien trop grandes par rapport aux autres.
16:34Il va falloir utiliser les chiffres et les nombres.
16:37Question 1, le point A n'appartient-il au cercle de centra, et de rayon 10 ?
16:43Traduction, il faut calculer la longueur de AM.
16:46Utilisation de la formule adéquate.
16:49Racine carré 2, XN moins XA, au carré, plus, YM moins YK, au carré.
16:56Remplacement de chaque variable par leur valeur numérique, et AM est égale à racine carré de cent, qui se simplifie en 10.
17:03Donc, réponse affirmative à la question.
17:07Next.
17:08Question 2, le triangle MAB est-il isocèle ?
17:12Il faut calculer la longueur de chaque côté du triangle.
17:16On commence par AM.
17:18Utilisation de la formule adéquate.
17:20Racine carré 2, XN moins XA, au carré, plus, YM moins YK, au carré.
17:27Remplacement de chaque variable par leur valeur numérique, et AM est égale à racine carré de cent, simplifiable en 10.
17:35Oui, c'est vrai, le calcul a déjà été fait à la question précédente, mais ce n'est pas grave, ça te permet d'appliquer la formule une fois de plus, et ce n'est pas plus mal.
17:45On continue avec BM.
17:47Utilisation de la formule adéquate.
17:49La même que précédemment, racine carré 2, XN moins XB, au carré, plus, YM moins YB, au carré.
17:58Remplacement de chaque variable par leur valeur numérique, et BM est égale à racine carré de cent 21, simplifiable en 11.
18:06On termine par AB.
18:08Utilisation de la formule adéquate.
18:10La même que précédemment, racine carré 2, XB moins XA, au carré, plus, YB moins YK, au carré.
18:19Remplacement de chaque variable par leur valeur numérique, et AB est égale à racine carré de 45.
18:26Aucun côté de même longueur, donc réponse négative à la question.
18:30Next.
18:32Dernier exercice.
18:34Le plan est muni d'un repère orthonormal O, I, J.
18:38Soit les points suivants.
18:40A, de coordonnées 1, 1.
18:43B, de coordonnées 5, 3.
18:46C, de coordonnées 2, 9.
18:49Et D, de coordonnées moins 2, 7.
18:53Trois questions, mais elles vont demander beaucoup de place pour la rédaction.
18:57Donc comme d'habitude, je fais du vide et je les traite au fur et à mesure.
19:02Question 1. Trouvez les coordonnées des vecteurs AB et DC.
19:06Quelle est la nature du quadrilatère ABCD ?
19:09Par définition, les coordonnées du vecteur AB seront XB moins XA, YB moins YK.
19:16Remplacement des variables par les valeurs correspondantes, et le vecteur AB a pour coordonnées 4, 2.
19:23De nouveau par définition, les coordonnées du vecteur DC seront XC moins XD, YC moins YD.
19:30Remplacement des variables par les valeurs correspondantes, et le vecteur DC a pour coordonnées 4, 2.
19:37Les coordonnées de ces deux vecteurs sont identiques, donc ils sont égaux,
19:41ce qui entraîne que le quadrilatère ABCD est un parallélogramme.
19:45Next.
19:47Question 2. F est le point tel que le vecteur CF est égal à un tiers du vecteur CD.
19:52G est tel que le vecteur AG est égal à un tiers du vecteur AB.
19:57Petit a. Trouvez les coordonnées des points F et G.
20:01On commence par le point F.
20:03Dans la question précédente, on avait déterminé les coordonnées du vecteur DC.
20:08Sachant que le vecteur CD est égal au vecteur moins DC, ces coordonnées seront moins 4, moins 2.
20:15De ce fait, les coordonnées du vecteur, un tiers du vecteur CD, seront moins 4 tiers, moins 2 tiers.
20:22Je rappelle que la multiplication d'un vecteur par un réel
20:25entraîne la multiplication de ses coordonnées par semen réel.
20:29Par définition, les coordonnées du vecteur CF seront XF moins XC, YF moins YC,
20:36remplacement des variables par les valeurs correspondantes,
20:39et le vecteur CF a pour coordonnées XF moins 2, YF moins 9.
20:45Sachant que ce vecteur CF est égal à un tiers du vecteur CD,
20:48les coordonnées de ces deux vecteurs sont égales.
20:52De ce fait, XF moins 2 sera égal à moins 4 tiers, YF moins 9 sera égal à moins 2 tiers.
20:59Résolution des deux équations, attention aux fractions,
21:02ne pas oublier de tout mettre sur le même dénominateur,
21:05et le point F aura pour coordonnées 2 tiers, 25 tiers.
21:09On termine par le point G.
21:12On a les coordonnées du vecteur AB, donc celles du vecteur, un tiers du vecteur AB, seront 4 tiers, 2 tiers.
21:19Je rappelle une fois de plus que la multiplication d'un vecteur par un réel,
21:23entraîne la multiplication de ses coordonnées par semaine réelle.
21:27Par définition, les coordonnées du vecteur AG seront XG moins XA, YG moins YK,
21:34remplacement des variables par les valeurs correspondantes,
21:37et le vecteur AG a pour coordonnées XG moins 1, YG moins 1.
21:42Sachant que ce vecteur AG est égal à un tiers du vecteur AB,
21:45les coordonnées de ces deux vecteurs sont égales.
21:48De ce fait, XG moins 1 sera égal à 4 tiers, YG moins 1 sera égal à 2 tiers.
21:55Résolution des deux équations, attention aux fractions,
21:58ne pas oublier de tout mettre sur le même dénominateur,
22:01et le point G aura pour coordonnées 7 tiers, 5 tiers.
22:05Next.
22:07Petit b, démontrer que les segments FG et AC ont le même milieu.
22:11Pour commencer, j'affiche en haut à droite les coordonnées des points F et G, on va en avoir besoin.
22:18Posons le point et milieu du segment FG.
22:21Par définition, XL est égal à XF plus XG sur 2,
22:26remplaçant des variables par les valeurs correspondantes, et XM est égal à 3 demi.
22:32Toujours par définition, YM est égal à YF plus YG sur 2,
22:38remplaçant des variables par les valeurs correspondantes, et YM est égal à 5.
22:44Les coordonnées du milieu de FG sont donc 3 demi, 5.
22:48Posons maintenant le point et milieu du segment AC.
22:52Par définition, XL est égal à XA plus XC sur 2,
22:57remplaçant des variables par les valeurs correspondantes, et XN est égal à 3 demi.
23:03Toujours par définition, YN est égal à YK plus YC sur 2,
23:09remplaçant des variables par les valeurs correspondantes, et YN est égal à 5.
23:15Les coordonnées du point N sont donc 3 demi, 5.
23:19Les coordonnées de ces deux points étant identiques, ça veut dire qu'ils sont confondus.
23:24Donc, les segments FG et AC ont le même milieu.
23:28Et ce sera tout pour aujourd'hui.
23:30La forge est désormais terminée.
23:33Des questions ?
23:35Un complément d'information ?
23:37Rejoins-moi dans l'espace commentaires.
23:40D'autres exercices en PDF, librement téléchargeables, sont disponibles dans la description de cette vidéo.
23:47A toi de forger maintenant.
23:49Prochaine vidéo sur l'enclume.
23:52Que la forge soit avec toi.
23:54Stay tuned.
23:56Tchuss !