Calculer la somme des termes consécutifs d'une suite arithmétique - 1re
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vous pouvez poser vos questions et laisser vos commentaires.
1re somme à 0:31
2me somme à 1:03
3me somme à 1:53
Soutien scolaire gratuit donné par les professeurs de mathématiques du lycée Pierre Bourdan de Guéret.
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00:00 [Musique]
00:07 Bonjour, l'objectif de cet exercice est de calculer trois sommes.
00:11 Au petit a, la somme des entiers naturels consécutifs de 1 jusqu'à 60.
00:17 Au petit b, la somme des entiers naturels consécutifs de 10 jusqu'à 40.
00:23 Et au petit c, la somme des nombres impairs consécutifs de 1 jusqu'à 99.
00:30 Commençons par la première somme des entiers naturels de 1 à 60.
00:35 Une propriété de votre cours énonce que la somme des entiers consécutifs de 1 jusqu'à un entier n
00:42 est égale au produit de n par n + 1, le tout divisé par 2.
00:48 Appliquons cette formule. La somme des entiers consécutifs de 1 à 60
00:55 est égale à 60 multiplié par 61 divisé par 2, soit 1830.
01:02 Pour effectuer la somme des entiers consécutifs de 10 à 40 dans la question b,
01:08 nous allons nous ramener par soustraction à utiliser la formule de votre cours.
01:15 La somme des entiers consécutifs de 10 à 40 peut être vue comme étant égale à
01:21 la somme des entiers consécutifs de 1 à 40 moins la somme des entiers consécutifs de 1 à 9.
01:28 Pour chacune des sommes, utilisons la formule.
01:31 La somme des entiers consécutifs de 1 à 40 est égale à 40 fois 41 divisé par 2
01:38 et la somme des entiers consécutifs de 1 à 9 est égale à 9 fois 10 divisé par 2.
01:44 La somme que nous recherchons est donc égale à 820 moins 45, soit 775.
01:52 Passons à la dernière question, la somme des nombres ampères consécutifs de 1 à 99.
01:58 Première méthode, réécrire différemment les nombres 3, 5, 7, etc. jusqu'à 99.
02:06 3 est égale à 1 plus 2 fois 1, 5 est égale à 1 plus 2 fois 2, etc. jusqu'à 99 qui est égale à 1 plus 2 fois 49.
02:16 Le nombre de 1 à additionner dans cette somme est de 50.
02:21 A cette somme de 51, nous additionnons la somme 2 fois 1 plus 2 fois 2, etc. jusqu'à 2 fois 49
02:29 où 2 se met en facteur, facteur de la somme des entiers consécutifs de 1 à 49.
02:35 Ce que nous écrivons avec la formule du cours sous la forme 49 multiplié par 50 divisé par 2.
02:44 Notre somme globale après simplification est égale à 50 plus 49 fois 50, soit 50 fois 50.
02:55 Ce n'est pas obligatoire d'écrire cette étape. On peut directement écrire le résultat final, égal à 2500.
03:04 Je vais aborder une deuxième façon pour calculer cette somme avec une formule que vous aurez peut-être vue dans votre cours.
03:12 La somme de ces nombres impairs consécutifs de 1 à 99 est la somme des termes consécutifs d'une suite arithmétique de raison 2.
03:21 Je rappelle qu'une suite est arithmétique lorsque l'on passe d'un terme à l'autre de cette suite en additionnant toujours une même quantité.
03:29 Les nombres impairs sont les termes consécutifs d'une suite arithmétique de raison 2.
03:35 La somme des termes consécutifs d'une suite arithmétique se calcule de la manière suivante.
03:41 On additionne le premier terme et le dernier terme de la somme.
03:44 On multiplie par le nombre de termes qu'il y a dans la somme et on divise par 2.
03:50 Ici, cela donne 1er terme 1 + dernier terme 99 multiplié par le nombre de termes que l'on doit additionner.
04:00 Ici, il y en a 50 et ensuite on divise le tout par 2.
04:04 Pourquoi 50 ? Il suffit de faire comme on a fait précédemment et de décomposer les nombres 1, 3, 5, etc. jusqu'à 99 sous la forme 1 + 2 fois k, où k est un entier naturel.
04:16 Pour aller de 1 + 2 fois 0 jusqu'à 1 + 2 fois 49, on a additionné 50 termes.
04:25 De k = 0 à k = 49, nous comptons 50 termes.
04:30 Terminons notre calcul. La somme est égale à 100 fois 50 divisé par 2, soit 2500. Bon courage !
04:37 [Musique]