demostracion ecuacion del área del círculo
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00:00Buen día, les presento este tema sobre el área de un círculo exhibido a pi por radio
00:08al cuadrado, entonces voy a hacer la demostración, entonces tengo una circunferencia, inscribo
00:15un hexágono, ¿por qué un hexágono? porque en vídeos pasados yo había demostrado que
00:22se puede inscribir un hexágono en una circunferencia desde el punto de vista teórico, no es imposible,
00:29el lado del hexágono regular que tiene todos sus lados iguales porque es un polígono regular,
00:36entonces el lado del hexágono es igual al radio, entonces tomando con el compás, tomando el radio,
00:47la longitud del radio, entonces puedo ir plasmando radios, longitud de radios a través de la
00:55circunferencia y desde el punto de vista teórico no es imposible crearlo, y a partir del hexágono
01:05voy duplicando nuevos polígonos, duplicando por ejemplo de 12, 24, 48, 96, etcétera, y desde el
01:18punto de vista teórico tampoco es imposible crearlo, ¿ok? porque pronto tendrán esa duda,
01:26porque dirán, demuéstreme que el polígono regular, el hexágono y todos sus derivados,
01:35todas sus duplicaciones, demuéstrenme que encaja perfectamente en el círculo, ¿ok?
01:42pues ahí está la explicación, bueno entonces P es igual al perímetro, A es apotema, ¿ok?
01:50entonces la fórmula para el área del polígono regular es general, funciona para cualquier
01:55polígono regular para n lados, ¿ok? en vídeos pasados había demostrado esa fórmula,
02:01me queda difícil demostrárselo ahorita, se pueden dirigir a mis vídeos pasados,
02:09entonces que el área es igual al lado por n, por apotema, sobre 2, o lo puedo decir de esta
02:18manera, área es igual a P mayúscula, que viene siendo el perímetro, por apotema, sobre 2,
02:24entonces yo convertí P mayúscula, o sea convertí L que es la longitud del lado,
02:32por el número de lados que todos son iguales, y me da el perímetro, entonces yo transformé
02:39el perímetro, entonces lo reemplacé, lo reemplacé, acá, entonces queda P por A sobre 2,
02:50o también algunos trabajan con esta fórmula que es sin el denominador 2,
03:04pueden decir, área es igual a P mayúscula por A, donde P mayúscula es lado por n sobre 2,
03:10P mayúscula es el semiperímetro, o sea la mitad de un perímetro, entonces yo convertí y yo
03:19convertí esto por P mayúscula, entonces la fórmula queda así, ¿ok? entonces hasta ahí les
03:29voy a resumir las dudas, ¿ok? entonces hasta ahí me llegó la presentación, me va a tocar empezar
03:37a demostrarlo, entonces antes de empezar a demostrárselo, bueno entonces, coloco los
03:47ok, los vértices, bueno ok, entonces ¿qué va a ocurrir? cuando haya polígonos en el círculo,
04:06cada vez con cantidad de lados, cada vez mayores cantidad de lados, la longitud es cada vez más
04:15pequeña, entonces el apotema va a tender al radio, entonces va a tener un polígono con tantos lados,
04:27con tantos lados, un ejemplo es por ejemplo un lado, entonces el apotema va a tender al radio,
04:34¿ok? entonces el perímetro va a tender a la circunferencia, ¿por qué? porque vamos a tener
04:44tantos lados que va a tender a esta circunferencia, ¿ok? etcétera, entonces no hay duda, ¿ok? no hay
04:52ninguna duda, ¿qué otra cosa? el área del polígono regular va a tender a la circunferencia, ¿ok?
05:02entonces una pregunta, otra pregunta frecuente que puede, le pueden surgir, dice bueno como el
05:13como el área es inestable, cada vez va aumentando el área del polígono,
05:23es cierto, va aumentando el área, entonces ¿cómo hago? ¿qué me garantiza que esta fórmula de
05:31de áreas iguales P por A sobre 2? ¿cómo que me está calculando bien? porque el área es inestable,
05:39pues a medida que el área va aumentando porque el polígono se va moldeando a la circunferencia,
05:50entonces va a tener el área del círculo, entonces va a haber nuevos datos, voy a introducirle a esta
06:00fórmula nuevos datos, que el apotema tiende a ser radio, el perímetro del polígono va a tender a
06:11ser la circunferencia, ¿ok? entonces ha demostrado, entonces empiezo utilizando el límite, entonces
06:21límite, ok, límite del área del polígono, ok, coloco área polígono, es igual
06:37ok, entonces es igual al límite
06:39a P, la propiedad es de los límites, ok, por límite, ok,
06:57por límite A, ok, sobre 2,
07:06ok,
07:09pero ¿qué viene siendo el límite de P? ya lo dijimos, entonces límite
07:19del área del polígono
07:24es igual al límite de P, viene siendo circunferencia, ¿no?
07:28por límite A, ya dijimos que A tiende al radio, sobre 2, ok,
07:47entonces
07:50que es igual, la circunferencia que viene siendo 2P por radio, ok,
07:59por radio, entonces circunferencia de 2P por radio, por radio, sobre 2, ok,
08:10o de una vez coloco elevado al cuadrado, ok, porque es 2P por radio, por radio, entonces radio al cuadrado sobre 2, ok,
08:23entonces simplifico, entonces es igual a P por radio al cuadrado,
08:41entonces ya lo hemos demostrado,
08:44bueno, entonces alguna duda frecuente dirá, bueno, usted utilizó una fórmula de la circunferencia que es 2P por radio,
09:012P por radio, es necesario demostrárselo, pues sería conveniente, pero yo podría decir, la puedo utilizar,
09:12bueno, la circunferencia es igual a P por diámetro, ok, entonces, bueno, eso no hay duda, P por diámetro,
09:27P es una constante, en esta demostración no me está pidiendo, demuéstreme que P es 3,141592, etc.,
09:37no me lo está diciendo, solamente dice, demuéstreme la fórmula del área, entonces este sería para otro tema,
09:46pero por el momento, confórmese de que P es una constante, entonces esta constante por un diámetro me va a dar circunferencia,
09:57que también la puedo convertir en, circunferencia es igual a P, que viene siendo el diámetro, 2 radios,
10:092 radios, que es igual, entonces para acomodarla y para que se vea más bonita, 2P por radio, ok, muchas gracias por la atención,