Énigme : Hercule contre l'Hydre de Lerne

Le Point

Les mathématiques sont souvent considérées comme un drôle de langage avec lequel certains peuvent s'amuser pendant des heures, tandis que d'autres ont des poussées d'urticaire rien qu'à son évocation. Pourtant, les maths sont partout dans notre vie. Et ces dernières recèlent parfois d'étranges casse-têtes.  C'est à ces énigmes que s'est attaqué Antoine Houlou-Garcia, chercheur associé à l'EHESS, auteur de "21 énigmes pour comprendre (enfin !) les maths" (Albin Michel, 2022) et de "Il était une fois le zéro" (Alisio, 2023). Dans une série de vidéos, le fondateur de la chaîne YouTube Arithm'Antique décrypte pour Le Point certains de ces problèmes mathématiques qui ont traversé l'Histoire ou régissent notre quotidien. Au programme de cet épisode : le combat d'Hercule contre l'Hydre de Lerne revisité !  #énigmes #mathématiques #logique  Suivez nous sur : - Youtube : https://www.youtube.com/c/lepoint/ - Facebook : https://www.facebook.com/lepoint.fr/ - Twitter : https://twitter.com/LePoint - Instagram : https://www.instagram.com/lepointfr - Tik Tok : https://www.tiktok.com/@lepointfr - LinkedIn : https://www.linkedin.com/company/le-point/posts/ - www.lepoint.fr

Transcript

00:00 J'espère que les deux premières énigmes mathématiques vous ont plu.

00:02 Voici la troisième qui s'intitule "Hercule contre l'hydre".

00:05 Dans le mythe traditionnel grec, Hercule se bat contre l'hydre de Lerne.

00:11 Cet hydre a une caractéristique, c'est que quand on lui coupe une tête, les têtes repoussent.

00:15 Alors dans le mythe, Hercule se fait aider par son neveu pour brûler les têtes une à une

00:20 au fur et à mesure qu'Hercule les coupe pour qu'elles ne puissent pas repousser.

00:23 Mais on va changer un petit peu l'histoire pour en faire une énigme mathématique.

00:27 On va proposer deux règles qui régissent la manière dont les têtes repoussent ou pas.

00:31 La première, c'est quand on est dans le cas d'une tête qui est directement raccrochée au corps,

00:35 au tronc si l'on peut dire, de l'hydre. Dans ce cas, la tête ne repousse pas.

00:40 Ça c'est facile. La deuxième est un peu plus complexe.

00:43 On se situe dans le cas où une tête est accrochée non pas au corps mais à un nœud.

00:48 Si Hercule coupe une tête accrochée à un nœud, alors le nœud en question se duplique immédiatement.

00:56 Ce qui fait que ça fait beaucoup plus de têtes.

00:58 On a l'impression qu'à mesure qu'Hercule va couper les têtes, il va en apparaître une infinité.

01:04 Et qu'en somme, Hercule n'arrivera jamais à couper toutes les têtes de l'hydre.

01:08 Et pourtant, Hercule va y parvenir.

01:11 Avez-vous une bonne méthode pour aider Hercule ?

01:14 Alors, est-ce que vous avez la réponse ?

01:22 Alors la réponse a été donnée, de même que l'énoncé que je vous ai présentée,

01:26 par deux mathématiciens, Laurie Kirby et Jeff Paris en 1982.

01:30 Ce que Paris et Kirby arrivent à montrer mathématiquement, c'est que, en gros,

01:36 je vous le simplifie parce qu'évidemment ça se base sur des calculs assez complexes

01:40 qui fait apparaître la notion d'infini,

01:41 quelle que soit la manière dont Hercule coupe les têtes,

01:45 il va finir par arriver à couper toutes les têtes.

01:49 C'est-à-dire qu'il va gagner contre l'hydre sans avoir besoin d'une stratégie particulière.

01:54 Il peut y aller complètement au hasard et couper au hasard les têtes les unes après les autres.

01:58 Cela est dû au fait que, évidemment, lorsque Hercule coupe une tête accrochée au tronc,

02:02 elle ne repousse pas. Ça c'est banal.

02:04 Mais lorsqu'Hercule coupe une tête accrochée à un nœud, elle se duplique.

02:08 Et là, on a l'impression qu'il va y avoir une infinité de têtes qui vont pousser.

02:11 Et c'est vrai que pendant un certain temps, il va y avoir de plus en plus de têtes

02:14 quand Hercule va s'attaquer à cette arborescence des têtes accrochées à des nœuds.

02:19 Ce phénomène est tout simplement dû au fait que, quand l'hydre se réplique,

02:22 elle gagne en horizontalité, mais elle perd en verticalité.

02:27 C'est ça l'astuce. Et en perdant en verticalité, toutes les têtes qui sont de plus en plus nombreuses

02:31 pendant un certain temps vont devenir des têtes qui vont se raccrocher de plus en plus au tronc de l'hydre.

02:37 Et donc vont être des têtes qui vont finir, quand on les coupera, par ne pas se répliquer.

02:41 Sauf que derrière cette petite astuce d'apparence anodine,

02:43 il y a quelque chose de très intéressant dans l'article de Paris et Kirby.

02:46 C'est une illustration du théorème d'incomplétude de Gödel.

02:51 Le théorème d'incomplétude de Gödel dit, à gros traits, que dans la théorie arithmétique,

02:56 il y a certains résultats arithmétiques qui ne sont pas démontrables

03:00 dans le cadre de cette même théorie arithmétique.

03:02 C'est exactement ce qui se passe là.

03:04 L'hydre a un nombre de têtes fini, c'est un certain nombre entier,

03:08 donc on est vraiment dans l'arithmétique, il n'y a pas d'infini dans l'histoire,

03:11 on est purement dans de l'arithmétique simple avec des chiffres entiers et finis.

03:15 Sauf que pour arriver à démontrer le résultat selon lequel Hercule finira toujours par vaincre l'hydre,

03:21 il faut introduire la notion d'infini qui fait sortir de la théorie arithmétique.

03:25 Si vous voulez en savoir un petit peu plus sur cette notion de théorème de Gödel

03:29 et sur la manière dont fonctionne précisément cette victoire d'Hercule contre l'hydre,

03:35 je vous invite à aller consulter "21 énigmes pour comprendre enfin les maths"

03:39 que j'ai eu le plaisir d'écrire avec Thierry Mogener.

03:42 [Musique]

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